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台形の重心は?1分でわかる意味、重心位置の求め方、面積

台形の重心位置は、普通の四角形に比べて求め方が複雑です。四角形の重心位置は、図形の中心ですが、台形の場合は上辺と下辺の長さに応じて、位置が上下します。今回は、台形の重心位置の求め方、作図方法、台形の面積について説明します。なお、複雑な図形の重心は、「断面一次モーメント」により求める方法が簡単です。詳細は、下記の記事が参考になります。

図心ってなに?図心の求め方と断面一次モーメントの関係

断面一次モーメントについて

台形の重心は?

台形の重心を求める式は、下記です。

    y=h(a+2b)/3(a+b)

yは台形の重心、hは台形の高さ、aは下辺の長さ、bは上辺の長さです。上式の通り、台形の重心は、上辺の長さ、下辺の長さ、高さが決定すれば計算できます。


例えば、


h=3

a=5

b=2

のとき、y=1.286です。下図をみてください。下辺の長さが大きい台形ですね。よって、重心が中心より下側に移動することが想像できると思います。高さの中心が1.5に対して、1.286となります。


下辺の長さが大きいほど、重心位置は中心より下側に移動します。図心の考え方は、下記の記事が参考になります。

図心ってなに?図心の求め方と断面一次モーメントの関係

台形の重心の求め方

台形の重心を求める公式を誘導します。台形に限らず、重心の求め方は下記です。

    重心位置=断面一次モーメント÷断面積

断面一次モーメントの意味は、下記の記事が参考になります。

断面一次モーメントについて


※断面一次モーメントは、簡単にいうと、「図形の断面積×図形の図心までの距離」です。


下図を見てください。まず台形の断面一次モーメントを求めます。

台形

上辺と下辺、高さのみ分かっています。ポイントは、「2つの三角形に分解する」ことです。台形に対角線を引きます。すると2つの三角形ができます。2つの三角形に対して、「断面積×図心位置」を合計した値が、断面一次モーメントです。よって、

    S=a×h/2×h/3+b×h/2×2h/3=(a+2b)h^2/6

です。三角形の面積は、「底辺×高さ÷2」です。三角形の図心位置は、「高さの1/3」ですね。下図をみてください。下辺を図心高さの基準とするとき、三角形@の図心はh/3です。下辺が基準(0とする位置)なので、三角形Aの図心は2h/3ですね。

台形の図心の求め方

台形の断面積は

    A=(a+b)×h/2

です。重心は


断面一次モーメント÷断面積={(a+2b)h^2/6}÷{(a+b)h/2}=h(a+2b)/3(a+b)


です。まずは断面一次モーメントの考え方を理解すること、次に台形を2つの三角形に分解することを忘れないでくださいね。※断面一次モーメントの求め方は、下記の記事が参考になります。

断面一次モーメントについて

台形の面積

台形の面積を求める式は、下記です。

    A=(a+b)×h/2

まとめ

今回は台形の重心位置の求め方について説明しました。意味が理解頂けたと思います。台形に限らず、重心は断面一次モーメントと断面積が分かれば計算できます。特に断面一次モーメントの計算を理解してくださいね。また、台形の重心は、上辺と下辺の長さに影響すると覚えてください。下記の記事も併せて参考にしてくださいね。

図心ってなに?図心の求め方と断面一次モーメントの関係

断面一次モーメントについて


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