台形の重心は？1分でわかる意味、重心位置の求め方、面積
この記事の要点
台形の重心位置はy=h(a+2b)/3(a+b)の公式で求められます（h:高さ、a:下辺、b:上辺）。
台形を2つの三角形に分解して断面一次モーメントを求め、断面積で割ることで重心を算定します。
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台形の重心位置は、普通の四角形に比べて求め方が複雑です。
四角形の重心位置は、図形の中心ですが、台形の場合は上辺と下辺の長さに応じて、位置が上下します。
今回は、台形の重心位置の求め方、作図方法、台形の面積について説明します。
なお、複雑な図形の重心は、「断面一次モーメント」により求める方法が簡単です。
詳細は、下記が参考になります。
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台形の重心は？
台形の重心を求める式は、下記です。
- ｙ＝h(a+2b)／3(a+b)
yは台形の重心、hは台形の高さ、aは下辺の長さ、bは上辺の長さです。上式の通り、台形の重心は、上辺の長さ、下辺の長さ、高さが決定すれば計算できます。
例えば、
h＝3
a＝5
b＝2
のとき、y＝1.286です。下図をみてください。下辺の長さが大きい台形ですね。よって、重心が中心より下側に移動することが想像できると思います。高さの中心が1.5に対して、1.286となります。
下辺の長さが大きいほど、重心位置は中心より下側に移動します。図心の考え方は、下記が参考になります。
台形の重心の求め方
台形の重心を求める公式を誘導します。台形に限らず、重心の求め方は下記です。
- 重心位置＝断面一次モーメント÷断面積
断面一次モーメントの意味は、下記が参考になります。※断面一次モーメントは、簡単にいうと、「図形の断面積×図形の図心までの距離」です。
下図を見てください。まず台形の断面一次モーメントを求めます。
上辺と下辺、高さのみ分かっています。ポイントは、「２つの三角形に分解する」ことです。台形に対角線を引きます。すると２つの三角形ができます。２つの三角形に対して、「断面積×図心位置」を合計した値が、断面一次モーメントです。よって、
- S=a×h/2×h/3+b×h/2×2h/3＝(a+2b)h2/6
です。三角形の面積は、「底辺×高さ÷2」です。三角形の図心位置は、「高さの1/3」ですね。下図をみてください。下辺を図心高さの基準とするとき、三角形①の図心はｈ/3です。下辺が基準（0とする位置）なので、三角形②の図心は2ｈ/3ですね。
台形の断面積は
- A＝（a+b）×h/2
です。重心は
断面一次モーメント÷断面積＝｛(a+2b)h2/6｝÷｛（a+b）h/2｝＝h(a+2b)／3(a+b)
です。まずは断面一次モーメントの考え方を理解すること、次に台形を２つの三角形に分解することを忘れないでくださいね。※断面一次モーメントの求め方は、下記が参考になります。
台形の面積
台形の面積を求める式は、下記です。
- A＝（a+b）×h/2
混同しやすい用語
重心
物体の質量の中心。
密度が一様でない場合、重力の作用点となる位置で、図心とは一致しない。
図心
断面の幾何学的な中心。
断面一次モーメントをゼロとする軸が通る点で、密度均一なら重心と一致する。
台形の重心を整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 公式 | y=h(a+2b)/3(a+b) | h：高さ、a：下辺、b：上辺 |
| 求め方 | 断面一次モーメント÷断面積 | 三角形2つに分解して計算 |
| 面積公式 | A=(a+b)×h/2 | 上辺と下辺の和×高さ÷2 |
まとめ
今回は台形の重心位置の求め方について説明しました。
意味が理解頂けたと思います。
台形に限らず、重心は断面一次モーメントと断面積が分かれば計算できます。
特に断面一次モーメントの計算を理解してくださいね。
また、台形の重心は、上辺と下辺の長さに影響すると覚えてください。
下記も併せて参考にしてくださいね。
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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プロフィール
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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