両端固定柱の水平剛性｜公式・導出・変位の求め方

この記事の要点

両端固定柱の水平剛性はk＝12EI/L3で表されます。

これは、両端固定柱の変位が「柱長さ半分の片持ち梁の変位を2倍した値」に等しいことから導かれます。

水平剛性は耐震設計の質点系モデルで固有周期を求める際に重要な値です。

P＝kδの関係とあわせて、導出の流れを理解しておきましょう。

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図に示すような両端固定柱の変位δを求め、水平剛性kを導け。※ヒント：両端固定というところに注目！

両端固定柱

解答例

問題を考えやすいように片方の柱だけを取り出して考えてみると、次のようなモデルとなります。

両端固定柱２

両端固定柱に水平力が加わっている状態を、少し大げさに描いてみまる。

両端固定柱に水平力が加わっている状態

両端固定ということは柱の長さが半分の位置で変位を考えてみると、片持ち梁の変位と全く同じであることがわかります。

つまり、両端固定柱の変位は片持ち梁の変位を2倍したものであることが確認できますね。

よって、

片持ち梁の変位：δ=PL³/3EI

柱長さが半分の位置：L=L/2

δ=PL³/24EI

もう片方の変位を考慮：δ=2×(PL³/24EI)=PL³/12EI

外力と変位の関係:P=kδ

よってk=12EI/L³

となり、以上のように水平剛性を求めることが出来ましたね。

混同しやすい用語

水平剛性（両端固定柱）

両端を固定された柱が水平方向の力Pを受けるときの「力÷変位（P/δ）」で定義される値で、k＝12EI/L3です。

片端固定（片持ち柱）との違いは「境界条件」です。

片端固定のk＝3EI/L3に対し、両端固定ではk＝12EI/L3となり、4倍大きくなります。

端部条件が剛性に大きく影響します。

変位（δ）

水平力Pが加わったときの柱頭の水平方向の変形量です。

両端固定柱ではδ＝PL3/12EIで求められます。

剛性との違いは「変形の大きさか抵抗力の大きさか」です。

変位δは変形量（m）、剛性kは単位変形あたりの抵抗力（N/m）を表します。

k＝P/δの関係が成立します。

今回は、演習問題を解きながら両端固定柱の水平剛性を算定しました。下記も併せて参考にしてくださいね。

水平剛性：k = 12EI/L3 = 12×(2.0×10?)×(3.0×10?)/(3,600)3

= 12×6.0×1012 / 4.666×101? = 7.2×1013 / 4.666×101? ≒ 1,543 N/mm = 1,543 kN/m

固有周期（質量m=5,000kg）：T=2π√(m/k)=2π√(5,000/1,543,000)≒2π×0.0569≒0.357秒

×誤り「両端固定と片持ち柱の水平剛性は同じ公式」→ ○正解両端固定はk=12EI/L3、片持ちはk=3EI/L3。両端固定は柱の両端が回転拘束されるため4倍の剛性となる
×誤り「水平剛性kはL（柱高さ）に反比例する」→ ○正解 k∝1/L3（3乗に反比例）。柱が2倍高くなると剛性は1/8になる
×誤り「固有周期TはkとmのどちらかだけVariant依存する」→ ○正解 T=2π√(m/k)。mが大きい（重い）またはkが小さい（柔らかい）と固有周期が長くなる