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両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

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両端固定梁とは、両端が固定端の梁です。両端固定とすることで、曲げモーメントやたわみを小さくすることが可能です。

両端固定梁、単純梁の違いは「たわみ」をみるとよく分かります。同じ外力が作用しても、両端固定梁の方がたわみは小さく、単純梁のたわみは大きくなります。

曲げモーメントは下図の赤線のようになり、中央部の曲げモーメントは両端固定梁の方が小さくなります。

今回は、両端固定梁の意味、その曲げモーメント、たわみの解き方について説明します。※固定端については下記の記事が参考になります。

支点とは？わかりやすい意味【図解】

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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両端固定梁とは？

両端固定梁とは、両端が固定端となる梁です。両端を固定端とすることで、曲げモーメントやたわみを小さくした不静定梁です。※不静定梁については下記の記事が参考になります。

不静定梁とは？1分でわかる意味、解き方、重ね合わせの原理、例題

両端固定梁の端部曲げモーメントを、「C（しー）」といいます。また両端ピン接合の曲げ応力はMo（えむぜろ）、せん断力をQo（きゅー）です。この３つをあわせて「CMQ（しーえむきゅー）」といいます。※CMQについては下記の記事が参考になります。

CMQとは？公式と算定

両端固定梁のCは、不静定構造物の応力算定などに役立つこと、実務の構造計算で使いやすいため、他の支持条件の応力に比べて特別です。CMQの応力は暗記すべきでしょう。

また、実際の構造物の端部は、「固定」又は「ピン」のように両極端な支持条件はありません。ピン接合と仮定する端部でも、剛性はあります。同様に、固定端と仮定しても実際は、少し剛性が落ちます。

※ピン接合、剛性については、下記が参考になります。

剛接合とピン接合の意味と、納まりと構造性能の違い

剛性とは？簡単な意味、剛性の計算、単位、強度との違い

両端固定梁の解き方

両端固定梁は不静定構造です。たわみ角法や固定法で解けますが、今回は重ね合わせの原理から解きます。重ね合わせの原理を使えば、難しい不静定解法を使わなくても、不静定梁が解けるのです。

※重ね合わせの原理は、下記が参考になります。

重ね合わせの原理とは？1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ

下図の両端固定梁の反力、曲げモーメント、たわみを計算してください。

曲げモーメント

上図のように、両端が固定端の梁は未知数が6つ（水平の反力がないため4つ）あります。よって反力のつり合いだけでは解けません。

そこで考え方を変えて、両端ピンの梁に逆向きの曲げモーメントが外力として作用する梁とします。

さらに上図の梁は２つの外力が作用する別々の梁として解き、曲げモーメントおよびたわみを重ね合わせ（足し合わせ）れば、両端固定梁の結果が得られます（梁A、梁Bとしました）。

さて、単純梁に荷重が作用すると下図のようにたわみます。このとき、支点にたわみは生じませんが、「たわみ角」が起きています。※たわみ角については下記が参考になります。

たわみ角とは？1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法

一方、固定端では「たわみ」及び「たわみ角」は生じません。よって、下記の関係が成り立ちます。

• 梁Aのたわみ角－梁Bのたわみ角＝0
• 梁Aのたわみ角＝梁Bのたわみ角

梁A、Bのたわみ角の計算過程は省略しますが、反力のつり合いで解けるのでトライしてみましょう。梁A、Bのたわみ角の等式の関係より、

• wL³／24EI＝ML／2EI
• M＝ｗL²／12

です。上記より算定したMを「固定端モーメント」又は「C（しー）」といいます。詳細は下記が参考になります。

固定端モーメントとは？1分でわかる意味、片持ち梁とC、両端固定梁

いかがでしょうか。重ね合わせの原理を使えば、案外簡単に不静定構造物の応力が計算できましたね。

また、中央の曲げモーメントは、下記の関係で計算します。

中央曲げモーメント＝単純梁の曲げモーメント－固定端モーメント

よって、下記の値です。

• M=ｗL²／8－ｗL²／12
• 　＝ｗL²／24

たわみ

たわみも前述した方法で計算します。梁Aは下向きのたわみが生じます。一方、梁Bは上向きのたわみなので、両端固定梁のたわみは両者を差し引いた値です。よって、下記が成り立ちます。

真のたわみ＝梁Aのたわみ－梁Bのたわみ

よって、両端固定梁のたわみは下記です。

• δ＝5ｗL⁴／384－ML²／8EI
• ＝5ｗL⁴／384－ｗL⁴／96EI
• ＝ｗL⁴／384

下記も参考になります。

たわみの公式は？1分でわかる種類、覚え方、単位、導出

両端固定梁のたわみは？3分でわかる求め方、公式、例題の計算

まとめ

今回は両端固定梁の解き方について説明しました。不静定梁でも、重ね合わせの原理を使えば簡単に解くことができますね。固定端モーメントの値や、両端固定梁のたわみは暗記しましょう。下記も参考になります。

固定端モーメントとは？1分でわかる意味、片持ち梁とC、両端固定梁

両端固定梁のたわみは？3分でわかる求め方、公式、例題の計算

重ね合わせの原理とは？1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ

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• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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