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両端固定梁とは?1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

両端固定梁とは、両端が固定端の梁です。両端固定とすることで、曲げモーメントやたわみを小さくすることが可能です。今回は、両端固定梁の意味、その曲げモーメント、たわみの解き方について説明します。※固定端については下記の記事が参考になります。

支点ってなに?支点のモデル化と、境界条件について

両端固定梁とは?

両端固定梁とは、両端が固定端となる梁です。両端を固定端とすることで、曲げモーメントやたわみを小さくした不静定梁です。※不静定梁については下記の記事が参考になります。

静定構造物と不静定構造物の違いと特徴

両端固定梁の端部曲げモーメントを、「C(しー)」といいます。また両端ピン接合の曲げ応力はMo(えむぜろ)、せん断力をQo(きゅー)です。この3つをあわせて「CMQ(しーえむきゅー)」といいます。※CMQについては下記の記事が参考になります。

CMQの算定


両端固定梁のCは、不静定構造物の応力算定などに役立つこと、実務の構造計算で使いやすいため、他の支持条件の応力に比べて特別です。CMQの応力は暗記すべきでしょう。


また、実際の構造物の端部は、「固定」又は「ピン」のように両極端な支持条件はありません。ピン接合と仮定する端部でも、剛性はあります。同様に、固定端と仮定しても実際は、少し剛性が落ちます。

両端固定梁の解き方

両端固定梁は不静定構造です。たわみ角法や固定法で解けますが、今回は重ね合わせの原理から解きます。重ね合わせの原理を使えば、難しい不静定解法を使わなくても、不静定梁が解けるのです。


下図の両端固定梁の反力、曲げモーメント、たわみを計算してください。

両端固定梁

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曲げモーメント

上図のように、両端が固定端の梁は未知数が6つ(水平の反力がないため4つ)あります。よって反力のつり合いだけでは解けません。


そこで考え方を変えて、両端ピンの梁に逆向きの曲げモーメントが外力として作用する梁とします。

両端固定梁の考え方

さらに上図の梁は2つの外力が作用する別々の梁として解き、曲げモーメントおよびたわみを重ね合わせ(足し合わせ)れば、両端固定梁の結果が得られます(梁A、梁Bとしました)。

重ね合わせの原理

さて、単純梁に荷重が作用すると下図のようにたわみます。このとき、支点にたわみは生じませんが、「たわみ角」が起きています。※たわみ角については下記の記事が参考になります。

たわみ角とは?1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法

たわみ角

一方、固定端では「たわみ」及び「たわみ角」は生じません。よって、下記の関係が成り立ちます。

  • 梁Aのたわみ角−梁Bのたわみ角=0
  • 梁Aのたわみ角=梁Bのたわみ角

梁A、Bのたわみ角の計算過程は省略しますが、反力のつり合いで解けるのでトライしてみましょう。梁A、Bのたわみ角の等式の関係より、

  • wL^3/24EI=ML/2EI
  • M=wL^2/12

です。上記より算定したMを「固定端モーメント」又は「C(しー)」といいます。


いかがでしょうか。重ね合わせの原理を使えば、案外簡単に不静定構造物の応力が計算できましたね。


また中央の曲げモーメントは、下記の関係で計算します。


中央曲げモーメント=単純梁の曲げモーメント−固定端モーメント


よって、下記の値です。

  • M=wL^2/8−wL^2/12
  •  =wL^2/24

たわみ

たわみも前述した方法で計算します。梁Aは下向きのたわみが生じます。一方、梁Bは上向きのたわみなので、両端固定梁のたわみは両者を差し引いた値です。よって、下記が成り立ちます。

    真のたわみ=梁Aのたわみ−梁Bのたわみ

よって両端固定梁のたわみは下記です。

  • δ=5wL^4/384−ML^2/8EI
  • =5wL^4/384−wL^4/96EI
  • =wL^4/384

まとめ

今回は両端固定梁の解き方について説明しました。不静定梁でも、重ね合わせの原理を使えば簡単に解くことができますね。固定端モーメントの値や、両端固定梁のたわみは暗記しましょう。

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