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面積と積分の関係は?1分でわかる意味、公式、なぜ積分で面積を計算するのか

ある線分を積分すると、面積になります。また、任意な形状の微小面積を積分すると、任意断面の面積になります。今回は、面積と積分の関係、積分の公式、なぜ積分で面積が計算できるのか、わかりやすく説明します。なお、数学的な説明ではなく、建築の実務を元に、算数程度の知識で積分を体験しましょう。

面積と積分の関係は?

積分は、ある線分、微小面積などの「総和」を意味します(※数学的な意味では無いです)。総和とは、「合計」のことです。下図をみてください。四角形(図形A)があります。

四角形の面積

私たちは、四角形の面積の公式が、

だと知っています。では、別の方法で四角形(図形A)の面積を算定できないでしょうか。その答えが「積分」です。積分とは、「総和(合計)」を意味しました。微小な面積を少しずつ合計(積分)し、求めたかった形状の面積を算定します。


下図のように、まず単位幅当りで長さaの微小面積を計算します。微小面積の大きさは下記です。


単位幅当りなので、1をかけるだけですね。

積分と面積

微小面積は、単位幅当りの値です。これを、「b」という長さに渡って合計すれば、長さa×bの面積が算定できます。微小面積をbという長さ分、積分すれば、

です。※(1+1+・・・・=b)とは、単位幅をbになるまで加えることを意味します。


上記より、積分で四角形の面積を計算しました。「微小面積を合計する」ことが、積分の本質的な意味です(微小体積を合計すれば、体積が算定できます)。


なお、数学的には「∫(いんてぐらる)」を使い、積分を行います(∫は積分記号です)。

積分の公式

積分の公式は下記です。


Aは任意断面の面積、∫は積分記号です。∫に下添え字、上添え字をつけて、積分する範囲を指定できます。dAは微小面積の意味です。


例えば∫に「下添え字0、上添え字10」という数値が付きました。微小面積dAは、0〜10の範囲まで積分を行う、という意味です。

なぜ積分で面積を計算するのか?

積分を使って面積の求め方を説明しました。例題にした「四角形の面積」では、積分のメリットを感じられなかったと思います。


積分を使った面積の算定で、最大のメリットは、


任意断面の面積が計算できる


ことです。下図をみてください。任意断面の面積は計算が困難です。公式もありません。しかし、四角形の微小面積dAを合計すれば、どうでしょうか。dAを、任意断面を埋め尽くすように合計すれば、面積が算定できます。

微小面積と積分

よって、微小面積dAは細かい値でないと意味がないです。下図のように、dAが大きいと、任意形状の断面ができないからです。

任意断面と積分

まとめ

今回は面積と積分の関係について説明しました。意味が理解頂けたと思います。積分と聞くと、「∫(いんてぐらる)」のような難しい記号を思い浮かべます。数学的にはそうですが、本質的な意味は簡単です。建築の実務では、積分を使う機会があります。ぜひ、積分の本質的な意味を理解してくださいね。

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