面積と積分の関係は？1分でわかる意味、公式、なぜ積分で面積を計算するのか

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ある線分を積分すると、面積になります。また、任意な形状の微小面積を積分すると、任意断面の面積になります。今回は、面積と積分の関係、積分の公式、なぜ積分で面積が計算できるのか、わかりやすく説明します。なお、数学的な説明ではなく、建築の実務を元に、算数程度の知識で積分を体験しましょう。

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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面積と積分の関係は？

積分は、ある線分、微小面積などの「総和」を意味します（※数学的な意味では無いです）。総和とは、「合計」のことです。下図をみてください。四角形（図形Ａ）があります。

四角形の面積

私たちは、四角形の面積の公式が、

面積＝a×b

だと知っています。では、別の方法で四角形（図形Ａ）の面積を算定できないでしょうか。その答えが「積分」です。積分とは、「総和（合計）」を意味しました。微小な面積を少しずつ合計（積分）し、求めたかった形状の面積を算定します。

下図のように、まず単位幅当りで長さaの微小面積を計算します。微小面積の大きさは下記です。

微小面積＝１×a＝a

単位幅当りなので、1をかけるだけですね。

積分と面積

微小面積は、単位幅当りの値です。これを、「ｂ」という長さに渡って合計すれば、長さa×bの面積が算定できます。微小面積をｂという長さ分、積分すれば、

a×（1+1+・・・・＝b）＝a×ｂ

です。※（1+1+・・・・＝b）とは、単位幅をｂになるまで加えることを意味します。

上記より、積分で四角形の面積を計算しました。「微小面積を合計する」ことが、積分の本質的な意味です（微小体積を合計すれば、体積が算定できます）。

なお、数学的には「∫（いんてぐらる）」を使い、積分を行います（∫は積分記号です）。

積分の公式

積分の公式は下記です。

A＝∫dA

Ａは任意断面の面積、∫は積分記号です。∫に下添え字、上添え字をつけて、積分する範囲を指定できます。dAは微小面積の意味です。

例えば∫に「下添え字0、上添え字10」という数値が付きました。微小面積dAは、0～10の範囲まで積分を行う、という意味です。

なぜ積分で面積を計算するのか？

積分を使って面積の求め方を説明しました。例題にした「四角形の面積」では、積分のメリットを感じられなかったと思います。

積分を使った面積の算定で、最大のメリットは、

任意断面の面積が計算できる

ことです。下図をみてください。任意断面の面積は計算が困難です。公式もありません。しかし、四角形の微小面積dAを合計すれば、どうでしょうか。dAを、任意断面を埋め尽くすように合計すれば、面積が算定できます。

微小面積と積分

よって、微小面積dAは細かい値でないと意味がないです。下図のように、dAが大きいと、任意形状の断面ができないからです。

任意断面と積分

まとめ

今回は面積と積分の関係について説明しました。意味が理解頂けたと思います。積分と聞くと、「∫（いんてぐらる）」のような難しい記号を思い浮かべます。数学的にはそうですが、本質的な意味は簡単です。建築の実務では、積分を使う機会があります。ぜひ、積分の本質的な意味を理解してくださいね。

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なぜ積分で面積を計算するのか？

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