片持ち梁の最大曲げ応力の求め方｜公式・例題・固定端の位置関係

この記事の要点

片持ち梁の最大曲げ応力はM＝PL（先端集中荷重）、M＝wL2/2（等分布荷重）です。

固定端から遠いほど曲げ応力が大きくなり、先端集中荷重が等分布荷重（同合力）の2倍の応力になります。

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片持ち梁の最大曲げ応力Mは「M＝PL（先端集中荷重作用時）」「M＝wl^2/2（等分布荷重作用時）」です。

荷重条件で最大応力の値が変わります。

1種類の荷重が作用する場合、「先端に集中荷重が作用する場合」が最も曲げ応力が大きくなります。

今回は片持ち梁の最大応力の求め方、例題、応力と位置の関係について説明します。

片持ち梁、最大曲げ応力の詳細は下記が参考になります。

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片持ち梁の最大曲げ応力は？求め方、応力と位置の関係

片持ち梁の最大曲げ応力Ｍは「Ｍ＝PL（先端集中荷重作用時）」「Ｍ＝wL^2/2（等分布荷重作用時）」等です

片持ち梁の最大曲げ応力

上図のように、片持ち梁の最大応力は「荷重条件」によって変わります。なお、1種類の荷重が作用する場合「先端に集中荷重の作用する」ときの曲げ応力が最も大きくなります。

例として、先端集中荷重と等分布荷重による最大曲げ応力の違いを確認しましょう。

片持ち梁の最大曲げ応力と先端集中荷重、等分布荷重の違い

等分布荷重ｗは、ｗＬ＝Ｐとなるよう設定したのでＰ＝10kN、Ｌ＝5m、w=2kN/mです。各片持ち梁の最大曲げ応力は下記の通りです。

・先端集中荷重の作用する片持ち梁　⇒　M=PL=10×5＝50kNm

・等分布荷重の作用する片持ち梁　⇒　M=wL^2/2=2×5^2/2=25 kNm

荷重の大きさは同じにも関わらず「先端集中荷重」の方が2倍も曲げ応力が大きくなりましたね。

下図をみてください。等分布荷重は「集中荷重に変換」できます。集中荷重に変換すると「等分布荷重の作用幅の中央」に荷重が作用しています。

等分布荷重を集中荷重に変換

集中荷重による曲げ応力は「M＝PL」です。よって、Lが大きいほどMは大きくなり、Lが小さければMも小さくなります。

等分布荷重は「梁の中央に作用する集中荷重」と同じ条件なので、曲げ応力が半分も小さいのです。

以上より、片持ち梁の最大曲げ応力は「荷重の位置」で大きく変わります。固定端からより離れた距離に荷重が作用するほど最大曲げ応力は大きくなるでしょう。

単純な事実ですが、構造設計の実務でも応用できます。例えば、片持ち梁先端から全ての力を伝達するのではなく、複数の部材を介して力を伝達することで、最大曲げ応力を「小さくする」などです。

下図に色々な荷重条件による片持ち梁の最大曲げ応力を示しました。

片持ち梁の最大曲げ応力

先端集中荷重と比較して「どのくらい応力が小さくなるのか」を調べてみましょうね。片持ち梁の意味、応力の求め方など下記も参考になります。

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片持ち梁の応力計算｜曲げ応力・せん断応力の公式と単純梁との比較

片持ち梁の最大曲げ応力と例題

例題として、下図に示す片持ち梁の最大曲げ応力を求めてください。

片持ち梁の最大曲げ応力

前述した公式を使っても良いのですが、三角形分布荷重も集中荷重に変換できます（三角形の面積を算定する）。変換の方法は下記が参考になります。

三角形分布荷重とは？1分でわかる意味、作用点、集中荷重との関係、片持ち梁

上図の三角形分布荷重を集中荷重に変換すると「5kN/m×4m/2＝10kN」です。また、変換した集中荷重の作用する位置は、三角形の重心位置（作用長さの1/3）です。

よって、最大曲げ応力＝10kN×4m/3=40/3=13.3kNmとなります。

混同しやすい用語

曲げ応力（M）

部材を曲げようとする力による内部応力（単位：kN・m）です。

片持ち梁では固定端で最大（M＝PL等）、自由端でゼロになります。

せん断応力（Q）

断面をずれ切るように作用する応力（単位：kN）です。

片持ち梁では支点の反力と同じ値になります。

片持ち梁の最大曲げ応力を整理した表を示します。

荷重条件	最大曲げ応力の公式	備考
先端集中荷重P	M＝PL	固定端で最大、最も大きい
等分布荷重w	M＝wL2/2	先端集中荷重の半分
三角形分布荷重	集中荷重変換で計算	重心位置（作用長の1/3）に作用

まとめ

今回は、片持ち梁の最大曲げ応力について説明しました。

片持ち梁の最大曲げ応力Mは「M＝PL（先端集中荷重）」「M=wL^2/2（等分布荷重）」です。

その他、荷重条件により最大応力の値は変わります。

まずは片持ち梁の特徴を勉強しましょう。

下記が参考になります。

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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