両端固定梁のたわみ公式｜集中荷重・等分布荷重の求め方と計算例
この記事の要点
両端固定梁のたわみは、中央集中荷重でδ＝PL3/192EI・等分布荷重でδ＝wL⁴/384EIであり、同条件の単純梁と比べて1/4～1/5程度に小さくなる。
固定端がたわみとたわみ角を0に拘束することで梁の変形が大幅に抑制されるため、床梁など使用上のたわみ制限が厳しい部材に両端固定梁が有効である。
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両端固定梁のたわみは集中荷重が中央に作用する場合で「δ＝PL^3/192EI」、等分布荷重の作用する場合で「δ＝wL^4/384EI」です。
単純梁（両端ピン支持）の場合と比べて、たわみは1/4～1/5程度も小さくなります。
たわみを小さくしたい場合、両端固定梁にするとよいでしょう。
今回は、両端固定梁のたわみと求め方、公式、例題の計算について説明します。
両端固定梁の意味、たわみの公式など下記も参考になります。
両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方
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両端固定梁のたわみは？求め方と公式
両端固定梁のたわみを下記に示します（代表的な荷重条件による値）。
中央集中荷重 ⇒ δ＝PL^3/192EI
等分布荷重 ⇒ δ＝wL^4/384EI
両端ピン支点の場合と比べると、たわみは1/4～1/5程度も小さくなっていますね。※単純梁のたわみは下記をご覧ください。
両端支持梁のたわみ計算は？集中荷重・等分布荷重の公式と計算例
たわみが大きいと床などの使用上に支障をきたします（歩行できない）。よって、たわみが大きい梁は、
・支点を固定に近づける
・梁の断面を大きくする
などの対策が必要になります。その他の荷重条件における両端固定梁のたわみを下図に示します。下記２つの公式を覚えておくと便利です。
たわみの公式、たわみの制限など下記もご覧ください。
使用上の支障とは？1分でわかる意味、たわみ、制限、告示、スラブとの関係
両端固定梁のたわみを求める例題の計算
例題として、下図に示す両端固定梁（H形鋼）のたわみを計算してください。※計算自体はエクセルや電卓を使ってOKです。なお、たわみの単位はmmとします。
公式は前述した通りです。単位を揃えないと全く異なる答えになるので注意しましょう。
材質は書いてありませんが、H形鋼（鋼材）なのでヤング係数E＝2.05×10^5N/m㎡です。断面二次モーメントI＝1810cm^4＝1810×10^4 mm^4、等分布荷重ｗ＝6kN/m＝6N/mmとなります。
あとは公式に代入するだけです。両端固定梁のたわみは、
です。ちなみに等分布荷重の作用する単純梁では、上記のたわみを5倍した値になります。鉄骨造の梁のたわみはL/300以下にするので、上記の例の場合、「単純梁ではたわみが大きすぎる（5*5.5mm=27.5mm>20mm）」ということです。
混同しやすい用語
両端固定梁のたわみ（等分布荷重）wL⁴/384EI
両端固定梁に等分布荷重が作用するときの中央最大たわみ。
単純梁の5wL⁴/384EIに比べて1/5の値となる。
両端固定梁の集中荷重（中央）たわみPL3/192EIに対して、等分布荷重のたわみ式は荷重の分布を積分した形となり、式の分母が異なる。
たわみ角
梁の変形に伴って断面が傾く角度（θ）。
固定端では0に拘束されるが、ピン支点では自由に発生する。
たわみ（変位の大きさ）に対して、たわみ角は変位の変化率（微分）を表し、重ね合わせの原理で不静定梁を解くときの条件式となる。
両端固定梁のたわみ公式を整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 中央集中荷重のたわみ | δ＝PL3/192EI | 単純梁PL3/48EIの1/4 |
| 等分布荷重のたわみ | δ＝wL⁴/384EI | 単純梁5wL⁴/384EIの1/5 |
| たわみ制限（鉄骨造） | L/300以下 | 使用上の支障を防ぐための基準 |
まとめ
今回は、両端固定梁のたわみについて説明しました。
両端固定梁のたわみは、集中荷重が中央作用時で「δ＝PL^3/192EI」、等分布荷重作用時で「δ＝wL^4/384EI」です。
まずは両端固定梁の特徴、たわみの意味を理解しましょう。
下記が参考になります。
両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方
たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説
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理解度チェック
両端固定梁のたわみ公式（中央集中荷重・等分布荷重）を答えてください。
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中央集中荷重で δ＝PL3/192EI、等分布荷重で δ＝wL4/384EI です。同条件の単純梁（集中PL3/48EI、等分布5wL4/384EI）と比べ、たわみは1/4～1/5程度に小さくなります。
たわみが大きい梁への対策を答えてください。
答えを見る
支点を固定に近づける、梁の断面を大きくする、などです。たわみが大きいと床などの使用上に支障（歩行できないなど）をきたすため、固定端がたわみ・たわみ角を0に拘束する両端固定梁は、床梁などたわみ制限が厳しい部材に有効です。
両端固定梁（H形鋼、E＝2.05×105N/mm2、I＝1810cm4、w＝6kN/m）のたわみ計算上の注意点を答えてください。
答えを見る
単位を揃えること（I＝1810×104mm4、w＝6N/mm）が重要です。等分布荷重の単純梁ではこの5倍のたわみになり、鉄骨造の梁のたわみはL/300以下にするため、単純梁ではたわみが大きすぎる（例：5×5.5mm＝27.5mm＞20mm）ことがあります。
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プロフィール
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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