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HOME > 構造力学の基礎 > 2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式は？1分でわかる求め方（解き方）と計算

2点集中荷重の両端固定梁：曲げモーメント公式と計算手順

この記事の要点

両端固定梁に2点集中荷重が作用する場合、固定端に負の曲げモーメントが生じ、スパン内部に正の曲げモーメントが生じる。

端部の固定モーメントが荷重位置によって変わるため、各荷重を単独の固定梁として扱い重ね合わせるのが計算の基本だ。

対称荷重（等スパン・等荷重）なら端部モーメントMa = -PL/6（1点分）×2点、スパン内最大M = PL/12となる。

試験問題では「固定端の符号を正しく取る」ことが正解への鍵だ。

不静定構造のため重ね合わせの原理を使い、固定端のたわみ角＝0という条件から端部モーメントを求め、単純梁の値から差し引くことで中央部モーメントを算定する。

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2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式は、PL/9（中央付近の曲げモーメント）と－2PL/9（端部の曲げモーメント）です。

今回は、2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式、求め方（解き方）と計算について説明します。

2点集中荷重が作用する単純梁の解き方は、下記が参考になります。

2点集中荷重が作用する単純梁とは？1分でわかる意味、公式、たわみ、曲げモーメント

両端固定端の特徴は、下記をご覧ください。

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

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2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式は？求め方（解き方）

2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式を下図に示します。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式

曲げモーメント図を下図に示します。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁の曲げモーメント図

Pが作用する位置でPL/9、両端で2PL/9が作用します。両端部に作用する曲げモーメントの方が、中央に作用する曲げモーメントより2倍も大きいですね。

さて、両端固定梁は不静定構造のため、簡単に解けません。今回は、重ね合わせの原理を用いて前述した公式を求めます。重ね合わせの原理の意味、両端固定梁の曲げモーメントの解き方の流れは、下記が参考になります。

重ね合わせの原理とは？意味・不静定梁でのたわみ計算と適用条件（線形弾性の前提）

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

2点集中荷重が作用する両端固定梁は、下図のように分解できます。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁と重ね合わせの原理

梁A、Bの端部には、たわみ角が生じます。しかし、実際は両端が固定なので、たわみ角は「0（ぜろ）」です。つまり、

梁Aのたわみ角－梁Bのたわみ角＝0

です。梁A、Bのたわみ角の求め方は省略しますが、下記のように算定されます。

梁Aのたわみ角＝－PL2／9EI

梁Bのたわみ角＝ML／2EI

よって、AとBのたわみ角をイコールで結び、Mの値を求めます。

－PL2／9EI＝ML／2EI

－PL／9＝M／2

M（C）＝－2PL／9（両端の曲げモーメント）

また、

中央の曲げモーメント＝単純梁の曲げモーメント－固定端モーメント＝PL/3－2PL／9＝PL／9

です。2点集中荷重が作用する単純梁の曲げモーメントの求め方は、下記が参考になります。

2点集中荷重が作用する単純梁とは？1分でわかる意味、公式、たわみ、曲げモーメント

2点集中荷重が作用する両端固定梁の計算

下図に示す2点集中荷重が作用する両端固定梁の曲げモーメントを、実際に計算しましょう。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁の計算

M=PL/9＝10kN×6m/9＝20/3 kNm

C=－2PL/9＝－2×10kN×6m/9＝－40/3 kNm

です。

ちなみに2点集中荷重が作用する単純梁は、曲げモーメント＝PL/3です。

上図と同様の条件の場合、M=PL/3=10kN×6m/3＝20 kNmです。

両端固定梁と比較すると1/3も曲げモーメントが小さいですね。

両端固定梁の特徴は下記をご覧ください。

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

混同しやすい用語

両端固定梁の曲げモーメント（2点集中荷重）

荷重点（中央付近）の曲げモーメントがPL/9、両端固定端の曲げモーメントが－2PL/9となる。

端部の方が2倍大きい。

単純梁（2点集中荷重）の曲げモーメントPL/3に対して、両端固定梁は固定端モーメントが差し引かれるため中央のモーメントが1/3に低減される。

固定端モーメント

両端固定梁の端部に生じる反モーメント。

重ね合わせの原理で「たわみ角＝0」の条件から算出される。

自由端（片持ち梁）に対して、固定端はたわみ角が0に拘束されるため、端部に曲げモーメントが生じる点が異なる。

2点集中荷重が作用する両端固定梁を整理した表を示します。

項目	内容	備考
荷重点の曲げモーメント	PL/9	Pは荷重、Lはスパン
両端部の曲げモーメント	－2PL/9	端部は荷重点の2倍
単純梁との比較	中央モーメントが1/3に低減	固定端モーメントが差し引かれるため