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2点集中荷重の両端固定梁：曲げモーメント公式と計算手順

この記事の要点

両端固定梁に2点集中荷重が作用する場合、固定端に負の曲げモーメントが生じ、スパン内部に正の曲げモーメントが生じる。

端部の固定モーメントが荷重位置によって変わるため、各荷重を単独の固定梁として扱い重ね合わせるのが計算の基本だ。

対称荷重（等スパン・等荷重）なら端部モーメントMa = -PL/6（1点分）×2点、スパン内最大M = PL/12となる。

試験問題では「固定端の符号を正しく取る」ことが正解への鍵だ。

不静定構造のため重ね合わせの原理を使い、固定端のたわみ角＝0という条件から端部モーメントを求め、単純梁の値から差し引くことで中央部モーメントを算定する。

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2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式は、PL/9（中央付近の曲げモーメント）と－2PL/9（端部の曲げモーメント）です。

今回は、2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式、求め方（解き方）と計算について説明します。

2点集中荷重が作用する単純梁の解き方は、下記が参考になります。

2点集中荷重が作用する単純梁とは？1分でわかる意味、公式、たわみ、曲げモーメント

両端固定端の特徴は、下記をご覧ください。

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

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2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式は？求め方（解き方）

2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式を下図に示します。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁の公式

曲げモーメント図を下図に示します。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁の曲げモーメント図

Pが作用する位置でPL/9、両端で2PL/9が作用します。両端部に作用する曲げモーメントの方が、中央に作用する曲げモーメントより2倍も大きいですね。

さて、両端固定梁は不静定構造のため、簡単に解けません。今回は、重ね合わせの原理を用いて前述した公式を求めます。重ね合わせの原理の意味、両端固定梁の曲げモーメントの解き方の流れは、下記が参考になります。

重ね合わせの原理とは？意味・不静定梁でのたわみ計算と適用条件（線形弾性の前提）

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

2点集中荷重が作用する両端固定梁は、下図のように分解できます。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁と重ね合わせの原理

梁A、Bの端部には、たわみ角が生じます。しかし、実際は両端が固定なので、たわみ角は「0（ぜろ）」です。つまり、

梁Aのたわみ角－梁Bのたわみ角＝0

です。梁A、Bのたわみ角の求め方は省略しますが、下記のように算定されます。

梁Aのたわみ角＝－PL2／9EI

梁Bのたわみ角＝ML／2EI

よって、AとBのたわみ角をイコールで結び、Mの値を求めます。

－PL2／9EI＝ML／2EI

－PL／9＝M／2

M（C）＝－2PL／9（両端の曲げモーメント）

また、

中央の曲げモーメント＝単純梁の曲げモーメント－固定端モーメント＝PL/3－2PL／9＝PL／9

です。2点集中荷重が作用する単純梁の曲げモーメントの求め方は、下記が参考になります。

2点集中荷重が作用する単純梁とは？1分でわかる意味、公式、たわみ、曲げモーメント

2点集中荷重が作用する両端固定梁の計算

下図に示す2点集中荷重が作用する両端固定梁の曲げモーメントを、実際に計算しましょう。

図　2点集中荷重が作用する両端固定梁の計算

M=PL/9＝10kN×6m/9＝20/3 kNm

C=－2PL/9＝－2×10kN×6m/9＝－40/3 kNm

です。

ちなみに2点集中荷重が作用する単純梁は、曲げモーメント＝PL/3です。

上図と同様の条件の場合、M=PL/3=10kN×6m/3＝20 kNmです。

両端固定梁と比較すると1/3も曲げモーメントが小さいですね。

両端固定梁の特徴は下記をご覧ください。

両端固定梁とは？1分でわかる意味、曲げモーメント、たわみ、解き方

混同しやすい用語

両端固定梁の曲げモーメント（2点集中荷重）

荷重点（中央付近）の曲げモーメントがPL/9、両端固定端の曲げモーメントが－2PL/9となる。

端部の方が2倍大きい。

単純梁（2点集中荷重）の曲げモーメントPL/3に対して、両端固定梁は固定端モーメントが差し引かれるため中央のモーメントが1/3に低減される。

固定端モーメント

両端固定梁の端部に生じる反モーメント。

重ね合わせの原理で「たわみ角＝0」の条件から算出される。

自由端（片持ち梁）に対して、固定端はたわみ角が0に拘束されるため、端部に曲げモーメントが生じる点が異なる。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では「2点集中荷重が作用する両端固定梁の端部と中央の曲げモーメントの大きさを求めよ」の形で出題されることが多い。

公式（荷重点PL/9・端部2PL/9）を暗記するだけでなく、重ね合わせの原理による導出手順も理解しておくと不静定梁全般の問題に応用できる。

2点集中荷重が作用する両端固定梁を整理した表を示します。

項目	内容	備考
荷重点の曲げモーメント	PL/9	Pは荷重、Lはスパン
両端部の曲げモーメント	－2PL/9	端部は荷重点の2倍
単純梁との比較	中央モーメントが1/3に低減	固定端モーメントが差し引かれるため