1. HOME > 数学の基礎 > ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

ピタゴラスの定理とは？1分でわかる意味、証明、3:4:5の関係、三平方の定理との違い

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！大好評の用語集と図解集のセット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました！）

ピタゴラスの定理とは、直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという定理です。この定理は、建築設計で頻繁に使います。また構造力学や構造設計でも、ピタゴラスの定理を使い、材の長さや内力の計算をします。今回はピタゴラスの定理の意味、定理の証明、3：4：5の関係、三平方の定理との違いについて説明します。

建築で使う数学の内容は、下記が参考になります。

建築で数学は必要？現役設計者が教える必要な公式、範囲、物理との関係

100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒　いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事

記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

LINEで質問したい方はこちら　⇒　【好評】管理人にLINEで質問してみよう

ピタゴラスの定理とは？

ピタゴラスの定理とは、直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという定理です。下記にピタゴラスの定理を示しました。

x²+y²＝z²

ｘを底辺、ｙを高さ、ｚを斜辺とするとき、下図の関係が得られます。

上式より、直角三角形の斜辺の長さは、底辺と高さの二乗和の平方根をとればよいです。2つの長さが分かれば、もう1つの長さが判明する面白い定理ですね。下記も参考になります。

二乗和の平方根とは？1分でわかる意味、計算、使い方、三平方の定理との関係

構造力学や構造設計はもちろん、建築設計でも日常的に使う定理です。ぜひ覚えてくださいね。下記も参考になります。

直角二等辺三角形と三平方の定理の関係は？3分でわかる計算、公式、辺の比、例題

建築とピタゴラスの定理の関係

建築では、建物の図面を描きます。建物の図面では、普通、鉛直と水平の寸法を描きます。斜辺の寸法は描きこまないことも多いです（代わりに勾配の角度を描きます）。

この時、鉛直と水平の長さが分かれば、ピタゴラスの定理より斜辺の長さが計算できます。例えば屋根の長さ（屋根は、水を流すため斜めに向きます）、斜め方向の部材などの長さがあります。下記も参考になります。

傾斜の計算とは？1分でわかる意味、勾配の高さ、長さ、角度の計算

ピタゴラスの定理と3：4：5

ピタゴラスの定理で、3：4：5の法則があります。これは、底辺または高さが3か4のとき、斜辺が5となる法則です。下図をみてください。

3～5まで、連番となるので、ピタゴラスの定理の中でも特別に面白いですね。

ピタゴラスの定理の簡単な証明

ピタゴラスの定理を証明します。下記の証明は、中学生程度の数学を用いて行える有名な方法です。まず、証明の流れを整理しました。

・正方形の中に内接する正方形を描く。

・大きな正方形の面積を求める（①）

・内接する正方形の面積と、三角形の面積を求め合計する（②）

・①と②の面積は明らかに等しい。等式をつくり、ピタゴラスの定理が完成する

下図をみてください。大きな正方形の辺の長さは、「ｘ+ｙ」です。内接する正方形の辺の長さは、「ｚ」です。大きな正方形と内接する正方形によってつくられる直角三角形は、斜辺ｚ、底辺ｘ、高さｙの関係です。

まず大きな正方形の面積を求めます。辺の長さは「ｘ+ｙ」なので面積は

Ａ＝(x+y)²＝x²+2xy+y²

です。次に内接する正方形の面積は下記です。

Ａ2＝z²

大きな正方形の中にある、三角形の面積の合計（三角形が4つありますね）は下記です。

(x*y)/2*4＝2(x*y)＝2xy

内接する正方形と三角形の面積の合計は、下記です。

2xy +z²

大きな正方形の面積と、上記の面積は明らかに等しいです。よって、

x²+2xy+y²＝2xy +z²

x²+y²＝z²

より、ピタゴラスの定理が証明できました。

ピタゴラスの定理と三平方の定理の違い

ピタゴラスの定理と三平方の定理は、同じ意味です。ピタゴラスが証明した定理のため、「ピタゴラスの定理」といいます。「平方」とは、2乗のことです。「三平方」なので、3つの値の平方をとる、という意味です。

まとめ

今回はピタゴラスの定理について説明しました。意味が理解頂けたと思います。ピタゴラスの定理は、直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の和が、斜辺の2乗に等しい定理です。建築でも良く使うので、ぜひ覚えてくださいね。余裕がある方は、ピタゴラスの定理の証明にもチャレンジしましょう。下記も参考になります。

直角二等辺三角形と三平方の定理の関係は？3分でわかる計算、公式、辺の比、例題

直角三角形の斜辺の求め方は？1分でわかる計算、斜辺と高さ、辺の長さの関係

傾斜の計算とは？1分でわかる意味、勾配の高さ、長さ、角度の計算

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！大好評の用語集と図解集のセット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました！）

▼スポンサーリンク▼

【初回資料が今だけ無料！】1日約13円で情報をアップデート！

有料メルマガを無料で見てみませんか？⇒　忙しい社会人、学生のためのビルディング・アップデート

更新情報

• 当サイトでは、ほぼ毎日、記事更新・追加を行っております。


• 更新情報として、先月分の新着記事を一覧表示しております。下記をご確認ください。


• 新着記事一覧

プロフィール

• 
• 略歴▼
• 名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


• 当サイトの目的▼
• 建築学生が学ぶ「構造力学」の目的


• とりあえず10記事▼
• 初めましての方に10記事用意しました


• おすすめ書籍紹介▼
• ハナダユキヒロが建築関連書籍の良書を選びました

建築の本、紹介します。▼

▼【好評！】管理人おすすめ▼

• あなたも管理人に直接質問してみませんか？→【好評】LINEで質問！

同じカテゴリの記事一覧

• 三角関数とは？1分でわかる意味、公式と計算、角度と値の関係
• 三角関数の角度は？3分でわかる求め方、公式と計算、表との関係
• 三角関数の加法定理とは？3分でわかる意味、公式、応用と二倍角の公式
• 2倍角の公式とは？1分でわかる意味、求め方、問題、倍角の意味、証明
• 2倍角の公式の証明方法は？3分でわかる証明、問題の解き方
• 三角比の定義は？１分でわかる定義、覚え方、表、直角三角形と単位円との関係
• 三角比と辺の長さの関係は？1分でわかる求め方、角度と辺の長さの比
• 鋭角の三角比とは？1分でわかる意味、辺の長さと角度の関係、三平方の定理
• 単位円とは？1分でわかる意味、覚え方、表、sin、tanとの関係