ピタゴラスの定理とは？建築・構造計算でよく使う3:4:5の関係と証明

この記事の要点

建築現場で直角を確認するとき「3:4:5の法則」を使うことがあります。

これはピタゴラスの定理の整数解の一つで、単純な計算なのに精度よく直角を出せます。

この記事では、ピタゴラスの定理の意味・証明と、建築・構造計算での具体的な使い方を解説します。

3：4：5の整数比は最もよく使われる直角三角形の辺の比であり、現場でも直角確認に活用される。

この記事では、ピタゴラスの定理とは何か、3：4：5の関係はどう活用するのか、建築でどう使うのかを整理します。

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ピタゴラスの定理とは、直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという定理です。

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ピタゴラスの定理とは？

この定理は、建築設計で頻繁に使います。

また構造力学や構造設計でも、ピタゴラスの定理を使い、材の長さや内力の計算をします。

今回はピタゴラスの定理の意味、定理の証明、3：4：5の関係、三平方の定理との違いについて説明します。

建築で使う数学の内容は、下記が参考になります。

建築士試験に必要な数学とは？実務設計者が教える範囲・公式と学習の優先順位

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ピタゴラスの定理とは？

ピタゴラスの定理とは、直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという定理です。下記にピタゴラスの定理を示しました。

x²+y²＝z²

ｘを底辺、ｙを高さ、ｚを斜辺とするとき、下図の関係が得られます。

ピタゴラスの定理

上式より、直角三角形の斜辺の長さは、底辺と高さの二乗和の平方根をとればよいです。2つの長さが分かれば、もう1つの長さが判明する面白い定理ですね。下記も参考になります。

二乗和の平方根とは？意味、計算式、三平方の定理・合力への応用

構造力学や構造設計はもちろん、建築設計でも日常的に使う定理です。ぜひ覚えてくださいね。下記も参考になります。

直角二等辺三角形と三平方の定理の関係は？3分でわかる計算、公式、辺の比、例題

建築とピタゴラスの定理の関係

建築では、建物の図面を描きます。建物の図面では、普通、鉛直と水平の寸法を描きます。斜辺の寸法は描きこまないことも多いです（代わりに勾配の角度を描きます）。

この時、鉛直と水平の長さが分かれば、ピタゴラスの定理より斜辺の長さが計算できます。例えば屋根の長さ（屋根は、水を流すため斜めに向きます）、斜め方向の部材などの長さがあります。下記も参考になります。

傾斜の計算方法｜勾配・角度・斜辺の長さと屋根勾配・筋交いへの応用

ピタゴラスの定理と3：4：5

ピタゴラスの定理で、3：4：5の法則があります。これは、底辺または高さが3か4のとき、斜辺が5となる法則です。下図をみてください。

ピタゴラスの定理と3：4：5

3～5まで、連番となるので、ピタゴラスの定理の中でも特別に面白いですね。

ピタゴラスの定理の簡単な証明

ピタゴラスの定理を証明します。下記の証明は、中学生程度の数学を用いて行える有名な方法です。まず、証明の流れを整理しました。

・正方形の中に内接する正方形を描く。

・大きな正方形の面積を求める（①）

・内接する正方形の面積と、三角形の面積を求め合計する（②）

・①と②の面積は明らかに等しい。等式をつくり、ピタゴラスの定理が完成する

下図をみてください。大きな正方形の辺の長さは、「ｘ+ｙ」です。内接する正方形の辺の長さは、「ｚ」です。大きな正方形と内接する正方形によってつくられる直角三角形は、斜辺ｚ、底辺ｘ、高さｙの関係です。

ピタゴラスの定理

まず大きな正方形の面積を求めます。辺の長さは「ｘ+ｙ」なので面積は

Ａ＝(x+y)²＝x²+2xy+y²

です。次に内接する正方形の面積は下記です。

Ａ2＝z²

大きな正方形の中にある、三角形の面積の合計（三角形が4つありますね）は下記です。

(x*y)/2*4＝2(x*y)＝2xy

内接する正方形と三角形の面積の合計は、下記です。

2xy +z²

大きな正方形の面積と、上記の面積は明らかに等しいです。よって、

x²+2xy+y²＝2xy +z²

x²+y²＝z²

より、ピタゴラスの定理が証明できました。

ピタゴラスの定理と三平方の定理の違い

ピタゴラスの定理と三平方の定理は、同じ意味です。ピタゴラスが証明した定理のため、「ピタゴラスの定理」といいます。「平方」とは、2乗のことです。「三平方」なので、3つの値の平方をとる、という意味です。

混同しやすい用語

ピタゴラスの定理

直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の和が斜辺の2乗に等しいという定理（x2＋y2＝z2）。

三平方の定理と全く同じ内容だが、「ピタゴラスが証明した」という由来を強調するときに使われる名称である。

三平方の定理

ピタゴラスの定理と同義であり、「平方」とは2乗のことで、3つの辺の2乗の関係を表す。

ピタゴラスの定理が人名に由来するのに対して、三平方の定理は定理の内容そのものを示した日本語の名称である。

ピタゴラスの定理を整理した表を示します。

項目	内容	備考
定理の内容	x2＋y2＝z2（底辺2＋高さ2＝斜辺2）	直角三角形にのみ成立
代表的な整数比	3：4：5（32＋42＝52）	建築・測量で頻用
三平方の定理との関係	同じ定理（呼称が異なるだけ）	ピタゴラスが証明したことに由来