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RCスラブのたわみ

皆さんRCスラブの応力やたわみを計算するとき、大体が計算図表を引いて4辺の支持条件にそれぞれ合致するモデルを選んであとはスパンを入力して計算していると思います。

 

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では、計算図表の床のたわみはどのようにして算定されているのでしょうか?

実は、そんなに難しい式を使っているわけでもなく、単純な梁モデルから計算されているのです。

さて、上図のような床スラブを右のようにX,Y方向それぞれの梁としてモデル化します。なぜこのようなモデル化が妥当か?ということについて本来は議論するべきなのでしょうが、今回は省略してこのモデルで問題を解いていきます。


このようなモデル化を行ったとき、X,Y方向にそれぞれwx,wyの荷重が作用しますが、中央の点でのたわみはδx=δyとなります。

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次に、両端固定の梁について、たわみの公式は、

ですから、

となります。

中央のたわみはx、y方向どちらであろうが同じなので

δx=δyという式に当てはめて整理します。

また、荷重の関係式を考えると、x、y方向の荷重を足し合わせたものが全体の荷重となるはずです。以上から、


となります。


よって、

となります。


まず、wxをwyの形にします。さらに、wyをwの形に変形すると、一番右の項となります。納得できない人は一度誘導をしてみましょう。


少々、複雑な式となりましたが、ここで何がしたかったのかというと、wx,wxの式に未知の変数を入れたくなかったからです。


当たり前のことなんですが、計算する上で「荷重w」という存在は既知です。で、求めようとするRCスラブのスパンも既知となりますから、これらからwx,wyが求まると、とても都合が良いわけです。


さて、今誘導しているモデルは単位幅当たりを線材置換して計算しました。よって、幅b=1(m)です。よって、断面二次モーメントIは、

となります。Wxをwの形にすると、


以上より、x方向のたわみは、

となります。

これが、スラブの4辺固定等分布荷重作用時のたわみとなります。

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・計算例

では、本当にこの式がRC基準の計算図表と同じものなのか考えます。


例えば、λ=2.0のとき(λとはLxとLyとのスパンの比です。λ=Ly/Lxで、Ly:長辺、Lx:短辺です。)


LxとLyは、それぞれ2mと1mとしましょう。

となります。かなり式が簡単になってきて、0.03という係数が現れてきました。


RC基準の計算図表を引いてみると、確かにλ=2.0のときのδの係数は0.03となっていますので、誘導の妥当性が確認できました。



・計算例

4辺固定されたスラブと、両端固定梁との比較を行います。

いつもは分数で表示してあって少数での表し方になれないですが、両端固定等分布荷重が作用した場合の梁のたわみは、


δ=wL^4/384EI

です。単位幅で考えれば、I=bh^3/12=h^3/12です。よって、

δ=wL^4/32EI=0.03125wL^4/EI

となります。


4辺スラブの係数は0.030303・・・となるので、梁のたわみのほうが大きいことがわかります。ただし、これはλ=2.0の場合です。λを変化させていけば、たわみの係数も変化してくるでしょう。


たわみの結果だけ見ると、λ=2.0の場合では、梁と力の流れは変わらないように見えますね。

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