3つの力の合力の求め方と作図手順【平行四辺形・示力図】

この記事の要点

三つの力の合力は、一度に合成するのではなく、まず任意の2つの力を平行四辺形の対角線で合成してから、その合力と残りの力をさらに合成する手順で求めます。

合成する順序を変えても最終的な合力は変わりません。

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三つの力の合力は、まずは２つの力の力の平行四辺形より合力R1を求めたあと、R1と残りの力の平行四辺形をつくることで三つの力の合力R2求められます。実際に、下図に示す三つの力の合力を作図により求めましょう。

三つの力の合力

まず、P1とP2の合力を求めます。二つの力の合力は、二つの力を二辺とする平行四辺形の「対角線」です。よって合力を作図で求めると下図となります。なおP1とP2の合力をR1とします。

三つの力の合力２

次に、二つの力の合力R1とP3の力の平行四辺形をつくります。この力の平行四辺形の対角線が三つの力の合力R2となります。

三つの力の合力3

以上のように、三つの力の合力は二つの力の合力の求め方は変わりません。

一気に三つの力を合成するのではなく、まずは二つの力を合成した後、その合力と残りの力を合成するのです。

この考え方に基づけば、四つの力、五つの力、六つの力でも簡単に合力を算定できます。

なお、多くの力を合成する場合、その力を合成する順序を変えても合力は変わりません。前述の例では「P1+P2=R1、R1+P3＝R2」の順序で合力を求めましたが、たとえば「P1+P3=R1、R1+P2＝R2」でも結果は同じです。

三つの力の合力計算例

力	x成分	y成分
F1 = 50 N（36.9°方向）	+40 N	+30 N
F2 = 60 N（x方向負）	-60 N	0 N
F3 = 30 N（y方向負）	0 N	-30 N
合計（合力R）	Rx = -20 N	Ry = 0 N

合力の大きさ：|R| = √((-20)2+02) = 20 N（x方向負・左向き）

→ 3力の合力は20Nの左向き水平力。Ryがゼロになったのは、F1とF3のy成分が打ち消し合ったため

2力合成 vs 3力合成手順比較表

項目	2力の合成	3力（n力）の合成
作図法	平行四辺形を1回作成	2力ずつ繰り返す（n-1回）
成分計算法	Rx=F1x+F2x、Ry=F1y+F2y	全ての力のx・y成分を足し算
合成順序の影響	−（2力の順序は1通りのみ）	順序を変えても合力は同じ

よくある誤解

×誤り「3力を一度に合成できる」→ ○正解 3力以上は2力ずつ順番に合成する。平行四辺形法は2つの力にしか適用できない
×誤り「合成する順番が変わると合力も変わる」→ ○正解合成の順序によらず最終的な合力は同じになる（ベクトル加法の交換法則）
×誤り「合力の大きさは各力の大きさの合計に等しい」→ ○正解方向が異なる場合、合力はベクトル和のためx・y成分を別々に計算してから√(Rx2+Ry2)で求める

一問一答

Q. x成分：Fx1=30N・Fx2=-20N・Fx3=10N、y成分：Fy1=40N・Fy2=10N・Fy3=-30N の3力の合力の大きさは？

A. Rx=30-20+10=20N, Ry=40+10-30=20N。|R|=√(202+202)=√800≒28.3N

Q. 3つの力が互いに打ち消し合って合力がゼロになる条件は？

A. 全ての力のx成分の和=0、かつy成分の和=0 となるとき合力はゼロ（力の平衡条件と同じ）

まとめ

今回は、三つの力の合力は、まずは２つの力の力の平行四辺形より合力R1を求めたあと、R1と残りの力の平行四辺形をつくることで三つの力の合力R2求められます。

三つの力の合力は二つの力の合力の求め方は変わりません。

一気に三つの力を合成するのではなく、まずは二つの力を合成した後、その合力と残りの力を合成するのです。

力の合成、二つの力の合成は下記をご覧ください。

力の合成とは？計算方法・合力と平行四辺形の関係（ベクトルの合成の基礎）

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理解度チェック

3つの力の合力を作図で求める手順を説明してください。

答えを見る

一度に合成するのではなく、まず任意の2つの力P1・P2を平行四辺形の対角線で合成して合力R1を求め、次にR1と残りの力P3で平行四辺形をつくり、その対角線が3つの力の合力R2となります。平行四辺形法は2つの力にしか適用できないため、2力ずつ順に合成します。

合成する順序を変えると合力は変わりますか。

答えを見る

変わりません。ベクトル加法の交換法則により、合成の順序によらず最終的な合力は同じになります。例えばP1+P2=R1→R1+P3でも、P1+P3=R1→R1+P2でも結果は同じです。

向きの異なる複数の力の合力の大きさはどう求めますか。

答えを見る

各力のx成分・y成分をそれぞれ足し合わせてRx・Ryを求め、|R|＝√(Rx²+Ry²) で算定します。合力の大きさは各力の大きさの単純な合計には等しくありません。x成分の和とy成分の和がともに0になると合力はゼロ（力の平衡）になります。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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