第一主応力とは？最大主応力の求め方と主応力方向の計算例

この記事の要点

2軸応力状態の部材設計で、「最大せん断応力がどこに作用するか」を把握するために主応力を求めます。

第一主応力の方向を理解していると、ひび割れ方向の予測や補強の方向付けがしやすくなります。

この記事では、第一主応力の意味・求め方と、主応力方向の計算例を解説します。

この記事では、第一主応力とは何か、どう求めるのか、最大主応力と最小主応力の方向を整理します。

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第一主応力とは主応力の最大値（最大主応力）です。

第一主応力の記号はσ1です。

その他、第二主応力（中間主応力）、第三主応力（最小主応力）があります。

第一主応力は、主応力の中で「１番大きな値」と覚えておけばよいでしょう。

今回は第一主応力の意味、求め方、最大主応力と最小主応力の違い、方向について説明します。

主応力の求め方と意味、最大主応力の詳細は下記が参考になります。

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

最大主応力とは？1分でわかる意味、求め方、マイナスの値、圧縮・引張との関係、最小主応力の求め方は？

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第一主応力とは？

第一主応力とは主応力の最大値（最大主応力）で、σ1の記号で表します。その他、主応力の大きさ順に

・第二主応力　⇒　中間主応力

・第三主応力　⇒　最小主応力

があります。

要するに、第一主応力は主応力の中で１番大きな値を意味します。

なお、構造力学では二次元（平面）、１次元（線）の応力状態を考えることが多く、主応力は２成分（第一主応力、第三主応力）なので、第二主応力（中間主応力）は考えません。

主応力、最大主応力の詳細は下記が参考になります。

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

最大主応力とは？1分でわかる意味、求め方、マイナスの値、圧縮・引張との関係、最小主応力の求め方は？

第一主応力の求め方は？

第一主応力の求め方を下記に示します。

第一主応力の求め方

最大主応力と最小主応力の違い、方向は？

最大主応力と最小主応力の違いは下記の通りです。

・最大主応力　⇒　主応力の最大値

・最小主応力　⇒　主応力の最小値

最大主応力と最小主応力の方向は直角に交わります。また、主応力の作用する方向は下式により主応力面の角度θを算定すれば明らかです。

主応力の作用する方向

最大主応力と最小主応力の方向

最小主応力の詳細は下記が参考になります。

最大主応力と最小主応力の違いは？1分でわかる意味、求め方、最大主応力と最小主応力のマイナスと引張・圧縮の関係は？

混同しやすい用語

第一主応力（最大主応力σ1）

主応力の最大値。

引張応力に対応し、σ1=(σx+σy)/2+√[(σx-σy)2/4+τxy2]で求める。

第三主応力（最小主応力σ3）

主応力の最小値。

圧縮応力に対応し、σ3=(σx+σy)/2-√[(σx-σy)2/4+τxy2]で求める。

第一主応力を整理した表を示します。

項目	内容	備考
記号	σ1	主応力の最大値
公式	(σx+σy)/2+√[(σx-σy)2/4+τxy2]	二次元要素の場合
方向	最小主応力と直交	tan(2θ)=2τxy/(σx-σy)で算定

まとめ

今回は第一主応力について説明しました。第一主応力とは主応力の最大値（最大主応力）です。その他、主応力の大きい順に第二主応力、第三主応力（最小主応力）があります。主応力の求め方、最大主応力の詳細など下記も参考になります。

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

最大主応力とは？1分でわかる意味、求め方、マイナスの値、圧縮・引張との関係、最小主応力の求め方は？

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理解度チェック

第一主応力とは何か説明してください。

答えを見る

第一主応力とは主応力の最大値（最大主応力）で、記号σ1で表します。主応力には大きさ順に第一主応力（最大）、第二主応力（中間）、第三主応力（最小）があり、第一主応力は最も大きな値を意味します。

二次元（平面）の応力状態では主応力をいくつ考えますか。

答えを見る

構造力学では二次元（平面）・一次元（線）の応力状態を考えることが多く、主応力は第一主応力と第三主応力の2成分のみで、第二主応力（中間主応力）は考えません。

第一主応力（σ1）と第三主応力（σ3）の公式と、両者の方向の関係を説明してください。

答えを見る

σ1＝(σx+σy)/2+√[(σx-σy)²/4+τxy²]（引張に対応）、σ3＝(σx+σy)/2-√[(σx-σy)²/4+τxy²]（圧縮に対応）です。最大主応力と最小主応力の方向は直角に交わり、主応力面の角度は tan(2θ)＝2τxy/(σx-σy) で求めます。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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第一主応力の求め方は？

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