主応力差とは？1分でわかる意味、せん断応力との関係、最大主応力の方向、求め方は？

この記事の要点

主応力差とは最大主応力と最小主応力の差（σ1?σ3）のことで、モールの応力円では直径に相当する。

主応力差を2で割ると最大せん断応力（モールの円の半径）が得られ、材料の降伏・破壊判定に用いる重要な量となる。

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主応力差とは、最大主応力σ1と最小主応力σ3との差です。主応力差は「σ1－σ3」で求めます。

また、主応力差はモールの応力円における「円の直径」を意味します。さらに、主応力差を2で割り算すれば円の半径、すなわち、主せん断応力が得られます。

主応力差とは？せん断応力との関係は？

主応力差とは最大主応力σ1と最小主応力σ3の差です。また、主応力差はモールの応力円の直径を意味します。

下図をみてください。縦軸にせん断応力τ、横軸に垂直応力σをとり、σとτの関係を表す円を「モールの応力円」といいます。

主応力差

モールの応力円の中心は、x軸方向は任意の位置に移動しますが、y軸方向は移動しません。つまり、モールの応力円の中心はx軸に一致します。

このとき、σの最大値が最大主応力、最小値が最小主応力であり、両者の差（主応力差）は円の直径と一致します。

さらに、主応力差（円の直径）を2で割り算した値は円の半径です。上図のように、円の半径は「最大（最小）せん断応力」です。

よって、最大（最小）せん断応力は「主応力差÷２」すなわち

・τmax＝(σ1－σ3)/2

・τmin＝－(σ1－σ3)/2

です。モールの応力円、主応力の求め方は下記が参考になります。

最大主応力の求め方を下記に示します。σx、σyはx軸、y軸方向に生じる垂直応力、τxyはせん断応力です。

最大主応力

最大主応力の詳細は下記が参考になります。

混同しやすい用語

主応力差（σ1?σ3）

最大主応力と最小主応力の差で、モールの応力円の直径に相当する値。材料の破壊条件の評価指標として用いる。

最大せん断応力に対して、主応力差は最大せん断応力の2倍であり、両者は「主応力差/2＝最大せん断応力」の関係がある。

最大せん断応力（τmax）

任意の断面に生じうる最大のせん断応力で、主応力差の半分（(σ1?σ3)/2）に等しく、モールの応力円の半径に対応する。

主応力差に対して、最大せん断応力は材料のトレスカ降伏条件（最大せん断応力説）で直接使用する破壊指標となる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では主応力差・最大せん断応力とモールの応力円の関係が出題されます。

「主応力差＝円の直径、最大せん断応力＝円の半径」という対応をモールの円の図と一緒に覚えると混同しなくなります。

主応力差を整理した表を示します。