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任意断面の応力とは?1分でわかる意味、主応力の計算、垂直応力とせん断応力の関係

部材に生じる応力は、切断する断面の角度で変わります。単に引張力(外力)が作用する部材でも、切断する角度により垂直応力とせん断応力が作用します。今回は、任意断面の応力と主応力の計算方法、垂直応力とせん断応力の関係について説明します。垂直応力、せん断応力の意味は、下記が参考になります。

垂直応力とは?1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

せん断応力とは?1分でわかる意味、公式と計算法、記号、平均せん断応力

任意断面の応力とは?

任意断面の応力とは、部材を任意断面で切断したときの応力です。下図をみてください。引張力が作用する部材です。これまで、当たり前のように部材を鉛直方向に切断して、内部の応力を確認しました。

任意断面と鉛直断面の応力

Ai=1+1αi−αi2T1+3T


当然ですが、引張力Pに対して引張応力Pが生じています。では、下図のように角度をつけて(斜めに)切断します。角度をθとすれば、これは任意の断面で切断しています。

任意断面の応力

任意断面で切断するとき、部材には、切断面に対して平行な応力(せん断応力)、垂直な応力(垂直応力)が生じています。せん断応力をQ、垂直応力をNとします。このせん断応力と垂直応力の合力が、引張力Pと釣り合います。


せん断応力、垂直応力、合力の意味は下記が参考になります。

せん断応力とは?1分でわかる意味、公式と計算法、記号、平均せん断応力

垂直応力とは?1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

合力とは?1分でわかる意味、読み方、求め方、角度との関係


上記の通り、切断面に角度をつけることで切断面に対する


・せん断応力が生じること

・垂直応力が生じること


を覚えてくださいね。


上記の考え方を発展させ、「角度θ」によりせん断応力度、垂直応力度の大きさは、どう変化するのか説明します。

任意断面の応力と垂直応力度、せん断応力度の関係

下図をみてください。任意断面で切断した垂直応力N、せん断応力をQとします。ここでちょっとしたテクニックを使い、式を簡単にしましょう。垂直応力Nとせん断応力Qは、Pの分力です。よって、下式ですね。

任意断面と鉛直断面の応力

N=Pcosθ

Q=Psinθ


また、垂直応力度やせん断応力度は、応力を面積で除して求めます。任意断面の断面積と鉛直に切断した断面積は違います。鉛直に切断した断面積をAとするとき、任意断面の断面積は、


A'=A/cosθ


です。


以上より、垂直応力度σとせん断応力度τは下式です。


σ'=Pcosθ÷A'=Pcosθ/A/cosθ=Pcos^2θ/A

τ'=Psinθ÷A'=Psinθ/A/cosθ=Psinθcosθ/A


P/Aは鉛直に切断したときの応力度です。これをσとすれば下式となります。


σ'=σcos^2θ

τ'=σsinθcosθ(=σsin2θ/2)


上式より、θ=0のとき(鉛直に切断するとき)、垂直応力度はσとなります。これまで習ったP/Aと同様です。ただし角度をつけるに従って垂直応力度は小さくなります。


一方、せん断応力度はθ=0のとき「0(せん断応力は生じない)」です。角度をつけると、徐々にせん断応力度が上昇し45度で切断するとき、せん断応力度が最大です。


せん断応力度、垂直応力度の意味は下記が参考になります。

梁のせん断応力度

垂直応力とは?1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

任意断面の応力と主応力の計算

下式で、θ=0のとき、σが最大値でτが0です。同様に、θ=90度のときσが最小値でτが0です。


σ'=σcos^2θ

τ'=σsinθcosθ(=σsin2θ/2)


せん断応力が0になるときの垂直応力度を「主応力」といいます。主応力には最大値と最小値があります。

任意断面の応力と主応力の計算

上記は一方向の荷重のみ考慮しましたが、二方向の荷重を考慮した主応力を求めることも可能です。今回は省略いたします。

まとめ

今回は任意断面の応力について説明しました。意味が理解頂けたと思います。任意に断面を切断するとき、垂直応力とせん断力が生じることを覚えてくださいね。また、せん断応力度と垂直応力度の求め方、主応力との関係も理解しましょう。下記の記事も改めて勉強しましょうね。

応力とは?1分でわかる意味と種類、記号、計算法

垂直応力とは?1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

梁のせん断応力度

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