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任意断面の応力とは？1分でわかる意味、主応力の計算、垂直応力とせん断応力の関係

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部材に生じる応力は、切断する断面の角度で変わります。単に引張力（外力）が作用する部材でも、切断する角度により垂直応力とせん断応力が作用します。今回は、任意断面の応力と主応力の計算方法、垂直応力とせん断応力の関係について説明します。垂直応力、せん断応力の意味は、下記が参考になります。

垂直応力とは？1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

せん断応力とは？1分でわかる意味、公式と計算法、記号、平均せん断応力

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任意断面の応力とは？

任意断面の応力とは、部材を任意断面で切断したときの応力です。下図をみてください。引張力が作用する部材です。これまで、当たり前のように部材を鉛直方向に切断して、内部の応力を確認しました。

Ai=1+1αi－αi2T1+3T

当然ですが、引張力Pに対して引張応力Pが生じています。では、下図のように角度をつけて（斜めに）切断します。角度をθとすれば、これは任意の断面で切断しています。

任意断面で切断するとき、部材には、切断面に対して平行な応力（せん断応力）、垂直な応力（垂直応力）が生じています。せん断応力をQ、垂直応力をNとします。このせん断応力と垂直応力の合力が、引張力Pと釣り合います。

せん断応力、垂直応力、合力の意味は下記が参考になります。

せん断応力とは？1分でわかる意味、公式と計算法、記号、平均せん断応力

垂直応力とは？1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

合力とは？1分でわかる意味、読み方、求め方、角度との関係

上記の通り、切断面に角度をつけることで切断面に対する

・せん断応力が生じること

・垂直応力が生じること

を覚えてくださいね。

上記の考え方を発展させ、「角度θ」によりせん断応力度、垂直応力度の大きさは、どう変化するのか説明します。

任意断面の応力と垂直応力度、せん断応力度の関係

下図をみてください。任意断面で切断した垂直応力N、せん断応力をQとします。ここでちょっとしたテクニックを使い、式を簡単にしましょう。垂直応力Nとせん断応力Qは、Pの分力です。よって、下式ですね。

N＝Pcosθ

Q＝Psinθ

また、垂直応力度やせん断応力度は、応力を面積で除して求めます。任意断面の断面積と鉛直に切断した断面積は違います。鉛直に切断した断面積をAとするとき、任意断面の断面積は、

A'=A/cosθ

です。

以上より、垂直応力度σとせん断応力度τは下式です。

σ'＝Pcosθ÷A'＝Pcosθ/A/cosθ＝Pcos^2θ/A

τ'＝Psinθ÷A'＝Psinθ/A/cosθ＝Psinθcosθ/A

P／Aは鉛直に切断したときの応力度です。これをσとすれば下式となります。

σ'＝σcos^2θ

τ'＝σsinθcosθ（＝σsin2θ/2）

上式より、θ＝0のとき（鉛直に切断するとき）、垂直応力度はσとなります。これまで習ったP／Aと同様です。ただし角度をつけるに従って垂直応力度は小さくなります。

一方、せん断応力度はθ＝0のとき「0（せん断応力は生じない）」です。角度をつけると、徐々にせん断応力度が上昇し45度で切断するとき、せん断応力度が最大です。

せん断応力度、垂直応力度の意味は下記が参考になります。

梁のせん断応力度

垂直応力度とは？1分でわかる意味、求め方、単位、記号の読み方、問題の解き方

任意断面の応力と主応力の計算

下式で、θ＝0のとき、σが最大値でτが0です。同様に、θ＝90度のときσが最小値でτが0です。

σ'＝σcos^2θ

τ'＝σsinθcosθ（＝σsin2θ/2）

せん断応力が0になるときの垂直応力度を「主応力」といいます。主応力には最大値と最小値があります。

上記は一方向の荷重のみ考慮しましたが、二方向の荷重を考慮した主応力を求めることも可能です。詳細は下記をご覧ください。

2軸方向に生じる応力とは？任意断面の応力の求め方と力のつりあいは？

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

まとめ

今回は任意断面の応力について説明しました。意味が理解頂けたと思います。任意に断面を切断するとき、垂直応力とせん断力が生じることを覚えてくださいね。また、せん断応力度と垂直応力度の求め方、主応力との関係も理解しましょう。下記の記事も改めて勉強しましょうね。

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

垂直応力とは？1分でわかる意味、公式、計算、単位、垂直応力度との違い

垂直応力度とは？1分でわかる意味、求め方、単位、記号の読み方、問題の解き方

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• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


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