2軸方向に生じる応力とは？任意断面の応力の求め方と力のつりあいは？

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２次元の四角形の物体には、各面にx軸およびy軸（2軸）の各軸方向に生じる垂直応力、各軸と直交する方向に生じるせん断力が生じます。この四角形から微小直角三角形要素を取り出し、三角形要素の斜辺に生じる垂直応力、せん断力を求めれば、任意の傾きをもつ断面に生じる応力が算定できます。今回は、2軸方向の応力状態、任意断面の応力の求め方と力のつりあいについて説明します。一次元物体の任意断面の応力、三次元物体の力のつりあいは下記が参考になります。

任意断面の応力とは？1分でわかる意味、主応力の計算、垂直応力とせん断応力の関係

応力の平衡方程式

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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2軸方向に生じる応力とは？

２次元の四角形の物体には、下図に示すように2軸方向（x、ｙ軸方向）に生じる垂直応力、各面に平行に作用するせん断力が生じます。２次元物体に生じる応力状態を下図に示します。※ここでいう応力とは構造力学における「応力度（単位面積当たりの断面力）」とする。また、物理学などでは「断面力を合応力」、建築構造力学では「断面力のことを応力」という。

なお、四角形物体は平面でz方向（奥行）の長さは1、ｚ方向の応力、ひずみは考えません。また、簡単のため力の矢印を１本で図示していますが、各応力は各面に「分布」しています。たとえば、σyに「面積（dz×dx＝1×dx=dx）」を掛け算すれば「σydx」となり、断面力（※構造力学でいう応力）の値に変換できます。

2軸方向の応力状態

当然、実際の物体は3次元（立体）ですが、２次元（面）の問題として扱うことで、比較的簡単に力のつり合いや、後述する任意断面に生じる垂直応力、せん断力などが算定できます。なお、構造力学では、一般に用いる構造部材の特性上、さらに変数を減らして1次元（線）の応力状態を考えることも多いです（梁、柱の応力）。1次元物体の任意断面に生じる応力の詳細は下記をご覧ください。

任意断面の応力とは？1分でわかる意味、主応力の計算、垂直応力とせん断応力の関係

さて、下図に示す四角形物体から微小な直角三角形要素を取り出します。三角形要素の斜面は鉛直線から任意の角度θ傾いており、θを小さくあるいは大きくすることで斜面の勾配も変わります（すなわち斜面は任意断面）。次に、斜面（任意断面）に垂直応力σ、せん断力τが下図の方向に作用すると仮定します。今回は、四角形物体を「土」と想定して応力の向きを仮定しました。

σ、τ以外の応力が既知とすれば、三角形要素に生じる応力のつりあいより、任意断面に生じる垂直応力σ、せん断力τが算定できます。

2軸方向の応力状態と微小三角形要素

なお、応力の向きを上図のように仮定した理由を下記に示します。

・垂直応力σx、σyの向き　⇒　物体を圧縮する方向とする（圧縮力と仮定）。「土」は引張強度が期待できない。ゆえに、引張応力、曲げ応力（引張と圧縮の合成応力）による力の伝達は考えない。地盤は必ず圧縮力を負担するような設計を行う（引張、曲げが作用する箇所に使わない）。

・任意断面の垂直応力σの向き　⇒　同上

・せん断力τxy（τyx）の向き　⇒　任意の向き

・任意断面のせん断力τの向き　⇒　同上

必ず上図のように、応力の向きを仮定する必要は無いですし、参考書によっては垂直応力の向きが逆になることも多いです（引張力と仮定）。ただし、応力の組は「物体がつりあうような向き」とします。なぜなら、力のつりあいを考えるとき物体が静止した状態を考えるからです。下図のように応力の向きを仮定すると物体は「回転」や「移動」するため、応力の向きの仮定として誤りです。

応力の向き

応力の向き2

以降、力のつりあいにより、任意断面の応力を算定しますが、「前述の応力の向きと仮定した場合の式」という点に留意しましょう。力はベクトルなので「大きさと向きはセット」です。仮定した応力の向きが変われば、当然、算定結果の符号も逆になります。ですから「参考書と計算式が合わない」と思う前に、まずは仮定した応力の向きを確認することも大切です。