主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

この記事の要点

主応力とは任意断面に生じる垂直応力の最大値・最小値のことで、モールの応力円を使う式「σ1,σ2 = (σx+σy)/2 ± √{((σx−σy)/2)2+τxy2}」で求める。

主応力が作用する断面（主応力面）ではせん断応力度がゼロになり、最大・最小主応力は互いに直交する方向に作用する。

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主応力の求め方はモールの応力円を描くと簡単にわかります。

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主応力の求め方は？

モールの応力円とは、縦軸にせん断応力、横軸に垂直応力をとり物体に生じる垂直応力、せん断応力の関係を表す円です。

モールの応力円を表す式は、任意断面に生じる垂直応力、せん断応力から導出できます。

今回は、主応力の求め方、2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方について説明します。二軸方向に生じる応力、モールの応力円、主応力面の詳細は下記が参考になります。

2軸方向に生じる応力の計算方法｜任意断面の応力と力のつりあい

モールの応力円とは？1分でわかる意味、導出、主応力の求め方は？

主応力面とは？せん断応力がゼロの面、主応力度との関係を解説

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主応力の求め方は？

主応力の求め方は、モールの応力円を描くと簡単にわかります。２次元要素に応力が生じる場合（平面応力状態）の主応力の求め方を下記に示します。

主応力の求め方1

σx、σyはx軸、y軸に生じる垂直応力、τxyはせん断応力です。σ1は主応力の最大値、σ3は主応力の最小値です。

なお、主応力とは物体の任意断面に生じる垂直応力の「極値（最大値、最小値）」です。主応力の最大値を最大主応力、最小値を最小主応力といいます。

主応力とは｜コーシーの関係から主面・主軸と主応力を導出する

上式に示す主応力を求める式を導出する前に、主応力の作用する方向、性質を理解しましょう。

２次元（平面）要素には、下図に示すようにｘ軸、ｙ軸方向に垂直応力、せん断応力が生じます。

2軸方向の応力状態と微小三角形要素

まずは、平面要素に生じる応力と任意断面に生じる応力とのつりあい関係から、２次元要素の任意断面に生じる垂直応力、せん断応力を求める式を導きましょう。

本記事では導出を省略しますが、導出を知りたい方は下記をご覧ください。

2軸方向に生じる応力の計算方法｜任意断面の応力と力のつりあい

２次元要素の任意断面に生じる垂直応力σ、せん断応力τを求める式は下記の通りです。

主応力の求め方2

前述したように、主応力とは垂直応力の「極値」です。極値は数学で習ったように「微分して0になる値」です。

忘れている方向けに補足しますが、微分は曲線の一部の傾きを求める操作なので「傾きが０」になるとき、極大値あるいは極小値を表すのです。

極値の求め方

上式のσはθが変数なので、σをθについて微分して（σx、σy、τxyは既知）、0になるときの関係を求めます。

主応力の求め方3

式①より主応力の生じる断面の角度θが得られます（つまり、主応力の生じる面および軸）がわかる）。

なお、同様の操作を行うことで、任意断面に生じるせん断応力の最大値τmaxが算定できます。

式①のtan2θに着目してください。tan2θの角度に90度（π/2）足しても、tanπ＝0なので「tan2(θ+π/2)＝tan2θ」となります。

つまり、tan2θは90度の周期をもっており、式①はtan2θ、tan2(θ+π/2)でも等式を満たします。

前述したように、主応力には最大値と最小値があります。すなわち

・主応力の最大値（最大主応力）と最小値（最小主応力）の軸および作用面は「直交する（90度で交わる）」

ことを意味します。下図をみてください。主応力の作用する面を（主応力面）、主応力の作用方向の軸を「主軸」といいます。

主応力面と主軸

主軸、主応力面の詳細は下記が参考になります。

主応力軸とは｜最大主応力・最小主応力の求め方と方向の決定方法

主応力面とは？せん断応力がゼロの面、主応力度との関係を解説

ところで、前述のτを求める式についてτ＝0の関係式を考えます。

主応力の求め方4

上式は式①と全く同じ式であり、つまり

・主応力の生じる断面ではせん断応力τ＝0となる（せん断応力は生じない）

のです。以上、主応力に関する重要事項を下記に整理しました。

① 主応力とは物体の任意断面に生じる垂直応力の「極値（最大値、最小値）」

② 主応力の最大値（最大主応力）と最小値（最小主応力）の軸および作用面は「直交する（90度で交わる）」

③ 主応力の生じる断面ではせん断応力τ＝0となる（せん断応力は生じない）

2次元要素の主応力の導出方法とモールの応力円

それでは2次元要素の主応力の式を導出します。２軸方向に応力が生じる物体における任意断面の垂直応力、せん断応力は下記の通りでした。

2次元要素の主応力の導出方法1

ここで円の方程式を思い出してください。円の方程式は

円の方程式の公式、半径の関係1

です。σとτの関係を円の方程式で表すことを目標に式を変形しましょう。式②の右辺を一部移項すると

2次元要素の主応力の導出方法2

です。次に式④の両辺を二乗、式③の両辺を二乗して足し算します。すると

2次元要素の主応力の導出方法3

なので

2次元要素の主応力の導出方法4

が得られます。さらに右辺を平方根の２乗の形に変形すると

2次元要素の主応力の導出方法5

です。上式を円の方程式と見比べると、上式は

2次元要素の主応力の導出方法6

の円の方程式を表すことがわかります。縦軸にせん断応力τ、横軸に垂直応力σをとります。

上式より、円の中心はy軸方向（τ軸方向）に移動しません。すなわち、円の中心とσ軸（x軸）は一致します。

式④で示す円を「モールの応力円」といいます。

モールの応力円

前述の式でも示しましたが、モールの応力円からも主応力の最大値、最小値では「τ＝0」になることが確認できます。式④についてτ＝０を代入してσの値を求めると

2次元要素の主応力の導出方法7

が得られます。上式は前述に示した主応力を求める式と一致しますね。

なお、最大（最小）せん断応力は「円の半径」ですから、最大主応力σ1と最小主応力の差（円の直径）の半分の値なので

2次元要素の主応力の導出方法8

のように算定できます。モールの応力円の詳細は下記も参考になります。

モールの応力円とは？1分でわかる意味、導出、主応力の求め方は？

最大主応力、最小主応力の求め方は？

最大主応力σ1、最小主応力σ3の求め方を下記に示します。なお、構造力学、材料力学の分野では、最大主応力の記号をσ1、最小主応力をσ2とすることが多いです。

最大主応力、最小主応力の求め方

最大主応力、最小主応力の詳細は下記が参考になります。

最大主応力とは？1分でわかる意味、求め方、マイナスの値、圧縮・引張との関係、最小主応力の求め方は？

最大主応力と最小主応力の違いは？1分でわかる意味、求め方、最大主応力と最小主応力のマイナスと引張・圧縮の関係は？

混同しやすい用語

最大主応力（σ1）

2次元応力状態で存在する最大の垂直応力で、モールの応力円の右側の横軸交点が対応する。

引張が正の場合、正値が大きいほど引張。

最小主応力に対して、最大主応力は材料の引張破壊や引張クラックの発生方向を判定するときに重要な指標となる。

最小主応力（σ2）

2次元応力状態で存在する最小の垂直応力で、モールの応力円の左側の横軸交点が対応する。

負値（圧縮）であることが多い。

最大主応力に対して、最小主応力は圧縮破壊や座屈の評価に関連し、最大主応力と直交する方向に作用する。

主応力の求め方を整理した表を示します。

主応力の種類	計算式	特徴
最大主応力 σ1	σ1 = (σx+σy)/2 + √{((σx−σy)/2)2+τxy2}	引張破壊・クラック方向の評価に使用
最小主応力 σ2	σ2 = (σx+σy)/2 − √{((σx−σy)/2)2+τxy2}	圧縮破壊・座屈評価に関連
主応力面の角度	tan2θ = 2τxy/(σx−σy)	σ1とσ2の作用面・作用軸は互いに直交