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断面一次モーメントの公式は？三角形、円形、四角形の公式、複雑な断面を積分を使わずに簡単に計算する方法

断面一次モーメントの公式は

（断面積×x(y)軸から断面図心までの距離）の総和

です。数式で表すと下記の通りです。Sは断面一次モーメント、dAは微小断面積、x、yは図心までの距離です。

断面一次モーメントの定義式は、微小断面積(dA)とdAの図心までの距離(y)との積を積分して算定しますが、一般的な図形の形状（四角形、三角形、円形）であれば、積分を使わない公式で簡単に断面一次モーメントが算定できます。なお、断面一次モーメントの定義、詳細は下記をご覧ください。

断面一次モーメントについて

下図にx軸における三角形、円形、四角形の断面一次モーメントの公式を示します。図形が変わっても考え方は同じで「（断面積×x(y)軸から図心までの距離）の総和」を計算するだけです。

また単純な断面図形であれば、単に「断面積×x(y)軸から図心までの距離」を計算すれば、断面一次モーメントが算定できるでしょう。なお、断面一次モーメントは面積×距離なので、単位はmm3やcm3など長さの単位の三乗とします。

実際に、断面一次モーメントの公式（断面積×x(y)軸から図心までの距離）で、三角形のSxを算定します。三角形の面積Aは

です。また三角形は高さの1/3の位置に図心があるので、x軸から三角形の図心位置までの高さは「h/3」です。以上より三角形の断面一次モーメントの公式は

になります。断面一次モーメントの公式は「（断面積×断面の図心までの距離）の総和」を覚えておけば、複雑な断面形状の断面一次モーメントも手計算で求められます。例題として下図に示すT字図形のx軸における断面一次モーメントを求める考え方を解説します。

図形が単純でなくなると、これまでの公式が適用できないと悩む人も多いでしょう。このとき、まずは複雑な図形を単純な形状に分割できないか考えます。上図の場合、T字は横向きの長方形と縦向きの長方形に分解できます。

あとは上図の①、②の長方形の断面一次モーメントをそれぞれ算定し、足し算すればT字の断面一次モーメントが算定できます。なお、断面②の図心位置は、単純に断面②の高さの半分では無く、断面①の高さだけ上の位置にある点に注意しましょう。以上よりT字の断面一次モーメントは

です。上記の考え方を用いれば、一見、複雑にみえる図形も三角形、四角形、円形に分割して、簡単な四則演算により断面一次モーメントが算定できます。また、複雑な図形の断面一次モーメントから、複雑な図形の図心位置も算定できます。断面一次モーメントと図心の関係は下記をご覧ください。

図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

なお、x軸の位置が変わっても考え方は同じです。たとえば、上図のx軸が下図のようにaだけ下側に移動する場合、それぞれの長方形の図心までの距離はa長くなります。

よって、上図の断面一次モーメントは

ですね。

まとめ

今回は、断面一次モーメントの公式について説明しました。断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離」です。よって、任意断面形状でない限り、複雑な図形の断面一次モーメントも、簡単な四則演算を用いて算定できます。断面一次モーメントの意味、定義は下記が参考になります。

断面一次モーメントについて

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