断面一次モーメントの公式｜三角形・円・四角形と単位

この記事の要点

断面一次モーメントの公式は「断面積×図心軸までの距離の総和」です。

長方形ではbh2/2、三角形ではbh2/6となります。

複雑な断面は単純な図形に分解して合算します。

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断面一次モーメントの公式は

（断面積×x(y)軸から断面図心までの距離）の総和

です。数式で表すと下記の通りです。Sは断面一次モーメント、dAは微小断面積、x、yは図心までの距離です。

断面一次モーメントの公式1

断面一次モーメントの定義式は、微小断面積(dA)とdAの図心までの距離(y)との積を積分して算定しますが、一般的な図形の形状（四角形、三角形、円形）であれば、積分を使わない公式で簡単に断面一次モーメントが算定できます。なお、断面一次モーメントの定義、詳細は下記をご覧ください。

断面一次モーメントとは？公式・図心の求め方と計算例

下図にx軸における三角形、円形、四角形の断面一次モーメントの公式を示します。図形が変わっても考え方は同じで「（断面積×x(y)軸から図心までの距離）の総和」を計算するだけです。

断面一次モーメントの公式2

また単純な断面図形であれば、単に「断面積×x(y)軸から図心までの距離」を計算すれば、断面一次モーメントが算定できるでしょう。なお、断面一次モーメントは面積×距離なので、単位はmm3やcm3など長さの単位の三乗とします。

実際に、断面一次モーメントの公式（断面積×x(y)軸から図心までの距離）で、三角形のSxを算定します。三角形の面積Aは

断面一次モーメントの公式3

です。また三角形は高さの1/3の位置に図心があるので、x軸から三角形の図心位置までの高さは「h/3」です。以上より三角形の断面一次モーメントの公式は

断面一次モーメントの公式4

になります。

断面一次モーメントの公式は「（断面積×断面の図心までの距離）の総和」を覚えておけば、複雑な断面形状の断面一次モーメントも手計算で求められます。

例題として下図に示すT字図形のx軸における断面一次モーメントを求める考え方を解説します。

断面一次モーメントの例題

図形が単純でなくなると、これまでの公式が適用できないと悩む人も多いでしょう。このとき、まずは複雑な図形を単純な形状に分割できないか考えます。上図の場合、T字は横向きの長方形と縦向きの長方形に分解できます。

断面一次モーメントの公式5

あとは上図の①、②の長方形の断面一次モーメントをそれぞれ算定し、足し算すればT字の断面一次モーメントが算定できます。なお、断面②の図心位置は、単純に断面②の高さの半分では無く、断面①の高さだけ上の位置にある点に注意しましょう。以上よりT字の断面一次モーメントは

断面一次モーメントの公式6

です。

上記の考え方を用いれば、一見、複雑にみえる図形も三角形、四角形、円形に分割して、簡単な四則演算により断面一次モーメントが算定できます。

また、複雑な図形の断面一次モーメントから、複雑な図形の図心位置も算定できます。

断面一次モーメントと図心の関係は下記をご覧ください。

図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

なお、x軸の位置が変わっても考え方は同じです。たとえば、上図のx軸が下図のようにaだけ下側に移動する場合、それぞれの長方形の図心までの距離はa長くなります。

断面一次モーメントの公式7

よって、上図の断面一次モーメントは

ですね。

混同しやすい用語

断面一次モーメントの公式

Sx=∫y dA（積分形）またはΣ(A×y)（合力形）で求め、単位はmm3（三乗）。

長方形ではbh2/2。

断面二次モーメントの公式

Ix=∫y2 dA（積分形）またはΣ(A×y2)（合力形）で求め、単位はmm?（四乗）。

長方形ではbh3/12。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では断面一次モーメントの公式（Sx=bh2/2）が計算問題でよく使われます。

公式の導出方法を理解しておけば、三角形（bh2/6）や円形断面にも応用できます。

断面一次モーメントの公式を整理した表を示します。

項目	内容	備考
長方形の公式	Sx = bh2/2	b：幅、h：高さ
三角形の公式	Sx = bh2/6	図心は高さの1/3の位置
複合断面の計算方法	単純図形に分解して各断面一次モーメントを合算	T字・L字形断面に適用

まとめ

今回は、断面一次モーメントの公式について説明しました。

断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離」です。

よって、任意断面形状でない限り、複雑な図形の断面一次モーメントも、簡単な四則演算を用いて算定できます。

断面一次モーメントの意味、定義は下記が参考になります。

断面一次モーメントとは？公式・図心の求め方と計算例

断面一次モーメントとは｜わかりやすい意味・覚え方と断面二次モーメントとの違いを解説

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

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