長方形の断面一次モーメントの求め方は？公式、導出方法の解説
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長方形の断面一次モーメントの公式は
です。上式より、長方形の断面一次モーメントは幅と高さの二乗の積を2で割り算した値です。
断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）」です。また、定義式は下記の通りです。
以上より、長方形の断面一次モーメントについて、積分を用いた導出と積分を使わない導出方法の２つを解説します。
まずは積分を使わずに、長方形の断面一次モーメントを求めます。断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和」ですが、長方形は単一の図形のため、単に、長方形の断面積と図心までの距離の掛け算を計算すれば良いです。
長方形の断面積Aは
です。長方形の図心は断面の真ん中になるので、x軸から長方形の図心までの距離yoは
です。以上より、長方形の断面一次モーメントは
です。次に、下記の定義式より積分を用いて断面一次モーメントを求めます。
dAは下図に示す長方形の微小断面積、yはx軸からdAの図心までの距離です。さらに、dAは微小高さdyと幅bの積なのでdA=bdyです。
あとは断面一次モーメントの定義式にあてはめると
です。以上より、積分を用いて長方形の断面一次モーメントが算定できました。考え方さえ理解していれば、積分を用いない「Sx=∑yA、Sy=∑xA」の計算式がより簡単です。
なお、一見、複雑にみえる断面図形も、分割すれば１つ１つの長方形であることも多いです。下図に示す複雑な断面図形も３つの長方形に分割すれば、「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）」を計算するだけです。
似た用語に「断面二次モーメント」があります。断面一次モーメントと断面二次モーメントは、考え方、公式など全く異なります。両者の違いは下記をご覧ください。
断面一次モーメントと断面二次モーメントの違いは何？出し方、何に使う？
断面二次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から図心までの距離の二乗の積の総和」です。長方形の図心軸(gx軸)における断面二次モーメントは積分を用いて、下式のように算定します。
断面二次モーメントの公式の導出は下記をご覧ください。
断面二次モーメントの導出方法は？式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係
まとめ
今回は、長方形の断面一次モーメントの求め方について説明しました。長方形の断面一次モーメントは「bh^2/2」で算定できます。断面一次モーメントの意味、図心と断面一次モーメントの関係など下記も勉強しましょう。
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