長方形の断面一次モーメント：公式bh²/2の導出と計算例
この記事の要点
長方形断面の断面一次モーメントとは、断面の各微小面積にその参照軸からの距離を掛けて積分した値だ。
軸の取り方によって公式が変わるため、「どの軸まわりか」を最初に確認する習慣が大切だ。
底辺を基準軸にとると、微小要素 b・dy を積分して断面一次モーメントSy = bh²/2 が得られる。これを断面積Aで割ると重心位置 ȳ = h/2 が導かれる。重心軸まわりのSは定義上ゼロになる。
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断面一次モーメント（長方形）の公式は
です。上式より、長方形の断面一次モーメントは幅と高さの二乗の積を2で割り算した値です。
断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）」です。また、定義式は下記の通りです。
以上より、長方形の断面一次モーメントについて、積分を用いた導出と積分を使わない導出方法の２つを解説します。
まずは積分を使わずに、長方形の断面一次モーメントを求めます。断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和」ですが、長方形は単一の図形のため、単に、長方形の断面積と図心までの距離の掛け算を計算すれば良いです。
長方形の断面積Aは
です。長方形の図心は断面の真ん中になるので、x軸から長方形の図心までの距離yoは
です。以上より、長方形の断面一次モーメントは
です。次に、下記の定義式より積分を用いて断面一次モーメントを求めます。
dAは下図に示す長方形の微小断面積、yはx軸からdAの図心までの距離です。さらに、dAは微小高さdyと幅bの積なのでdA=bdyです。
あとは断面一次モーメントの定義式にあてはめると
です。以上より、積分を用いて長方形の断面一次モーメントが算定できました。考え方さえ理解していれば、積分を用いない「Sx=∑yA、Sy=∑xA」の計算式がより簡単です。
なお、一見、複雑にみえる断面図形も、分割すれば１つ１つの長方形であることも多いです。下図に示す複雑な断面図形も３つの長方形に分割すれば、「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）」を計算するだけです。
似た用語に「断面二次モーメント」があります。断面一次モーメントと断面二次モーメントは、考え方、公式など全く異なります。両者の違いは下記をご覧ください。
断面二次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から図心までの距離の二乗の積の総和」です。長方形の図心軸(gx軸)における断面二次モーメントは積分を用いて、下式のように算定します。
断面二次モーメントの公式の導出は下記をご覧ください。
断面二次モーメントの導出方法は？公式の意味と慣性モーメントとの関係
混同しやすい用語
断面一次モーメント
図心位置やせん断応力度の算定に用いる値。bh2/2の公式で求め、単位はmm3やcm3（長さの三乗）。
断面二次モーメント
曲げ剛性・たわみ・座屈の算定に用いる値。bh3/12の公式で求め、単位はmm4やcm4（長さの四乗）。
長方形の断面一次モーメントを整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 公式 | Sx=bh2/2 | 幅×高さの二乗÷2 |
| 用途 | 図心位置の算定・せん断応力度計算 | 断面二次モーメントと異なる |
| 求め方 | 断面積×図心距離 | 積分でも算定可能 |
まとめ
今回は、長方形の断面一次モーメントの求め方について説明しました。長方形の断面一次モーメントは「bh^2/2」で算定できます。断面一次モーメントの意味、図心と断面一次モーメントの関係など下記も勉強しましょう。
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理解度チェック
長方形断面（底辺を基準軸）の断面一次モーメントの公式を答えてください。
答えを見る
Sx＝bh2/2 です（bは幅、hは高さ）。幅と高さの二乗の積を2で割った値で、断面積×図心までの距離（A＝bh、図心距離yo＝h/2）から求められ、積分でも同じ結果が得られます。
断面一次モーメントから長方形の図心位置はどう求めますか。
答えを見る
断面一次モーメントを断面積で割って求めます。底辺基準では Sx÷A＝(bh2/2)÷(bh)＝h/2 となり、図心は断面の真ん中（高さの1/2）です。なお重心軸まわりの断面一次モーメントは定義上ゼロになります。
断面一次モーメントと断面二次モーメントの違いを公式・単位とともに説明してください。
答えを見る
断面一次モーメントは図心位置やせん断応力度の算定に用い、長方形では bh2/2、単位はmm3やcm3（長さの三乗）です。断面二次モーメントは曲げ剛性・たわみ・座屈の算定に用い、長方形（図心軸）では bh3/12、単位はmm4やcm4（長さの四乗）です。
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
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