長方形の断面一次モーメントの求め方は？公式、導出方法の解説
この記事の要点
長方形の断面一次モーメントは「bh²/2」で算定されます。断面一次モーメントは図心位置の算定やせん断応力度の計算に用いる値で、断面二次モーメントとは全く異なる発想で定義されます。
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断面一次モーメント（長方形）の公式は
です。上式より、長方形の断面一次モーメントは幅と高さの二乗の積を2で割り算した値です。
断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）」です。また、定義式は下記の通りです。
以上より、長方形の断面一次モーメントについて、積分を用いた導出と積分を使わない導出方法の２つを解説します。
まずは積分を使わずに、長方形の断面一次モーメントを求めます。断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和」ですが、長方形は単一の図形のため、単に、長方形の断面積と図心までの距離の掛け算を計算すれば良いです。
長方形の断面積Aは
です。長方形の図心は断面の真ん中になるので、x軸から長方形の図心までの距離yoは
です。以上より、長方形の断面一次モーメントは
です。次に、下記の定義式より積分を用いて断面一次モーメントを求めます。
dAは下図に示す長方形の微小断面積、yはx軸からdAの図心までの距離です。さらに、dAは微小高さdyと幅bの積なのでdA=bdyです。
あとは断面一次モーメントの定義式にあてはめると
です。以上より、積分を用いて長方形の断面一次モーメントが算定できました。考え方さえ理解していれば、積分を用いない「Sx=∑yA、Sy=∑xA」の計算式がより簡単です。
なお、一見、複雑にみえる断面図形も、分割すれば１つ１つの長方形であることも多いです。下図に示す複雑な断面図形も３つの長方形に分割すれば、「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）」を計算するだけです。
似た用語に「断面二次モーメント」があります。断面一次モーメントと断面二次モーメントは、考え方、公式など全く異なります。両者の違いは下記をご覧ください。
断面一次モーメントと断面二次モーメントの違いは何？出し方、何に使う？
断面二次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から図心までの距離の二乗の積の総和」です。長方形の図心軸(gx軸)における断面二次モーメントは積分を用いて、下式のように算定します。
断面二次モーメントの公式の導出は下記をご覧ください。
断面二次モーメントの導出方法は？式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係
混同しやすい用語
断面一次モーメント
図心位置やせん断応力度の算定に用いる値。bh²/2の公式で求め、単位はmm³やcm³（長さの三乗）。
断面二次モーメント
曲げ剛性・たわみ・座屈の算定に用いる値。bh³/12の公式で求め、単位はmm⁴やcm⁴（長さの四乗）。
長方形の断面一次モーメントを整理した表を示します。
| 項目 | 内容 | 備考 |
|---|---|---|
| 公式 | Sx=bh²/2 | 幅×高さの二乗÷2 |
| 用途 | 図心位置の算定・せん断応力度計算 | 断面二次モーメントと異なる |
| 求め方 | 断面積×図心距離 | 積分でも算定可能 |
まとめ
今回は、長方形の断面一次モーメントの求め方について説明しました。長方形の断面一次モーメントは「bh^2/2」で算定できます。断面一次モーメントの意味、図心と断面一次モーメントの関係など下記も勉強しましょう。
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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断面一次モーメントと断面二次モーメントは名前が似ていますが、用途も公式も全く別物です。建築士試験では両方を正確に区別して計算問題に対応する必要があります。bh²/2（一次）とbh³/12（二次）の公式をセットで覚えておきましょう。