断面一次モーメントと断面二次モーメントの違い・単位・使い方

この記事の要点

断面一次モーメントは図心位置・せん断応力度の算定、断面二次モーメントはたわみ・座屈・剛性の算定に使います。

両者は全く異なる発想で定義され、単位も一次はmm3、二次はmm4と異なります。

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断面一次モーメントと断面二次モーメントの違い、何に使うか下記に示します。

断面一次モーメント：　断面の断面積とx(y)軸から断面図心までの距離の積の総和（Sx=∑yA、Sy=∑xA）。図心位置、せん断応力度の算定に使う

断面二次モーメント：　断面の断面積とx(y)軸から断面図心までの距離の二乗の積の総和（Ix=∫y^2dA、Iy=∫x^2dA）。断面のかたさ、曲げにくさを表す値で、たわみ、座屈荷重、剛性の算定に使う。

断面一次モーメントは図心、せん断応力度の算定、断面二次モーメントは、梁のたわみ算定や座屈荷重、剛性の算定など、部材の「かたさ」に関係する値の算定に用います。

なお、ネットでは「断面一次モーメントは重心位置の算定に用いる」と書いてある記事も散見されますが、これは全く誤った認識です。図心＝重心となるには、断面に分布する密度が均一であることが条件であり、たとえば、異なる材料を組合せて１つの断面をつくった場合、図心と重心位置は一致しません。

断面一次モーメントはあくまでも「断面の図形の中心の算定」に利用されるのであり、重さの中心（重心）位置の算定は別に考慮する必要があります。

さて、「断面一次」の次に「断面二次」と書いてあると、両者はとても関係性が深いように思えますが、両者は全く関係しません。断面二次モーメントと断面一次モーメントは全く異なる発想により求められます。両者を考え方の違いで述べるなら

・断面一次モーメントは図形の図心を求める過程の中で定義される値

・断面二次モーメントは、物体の回転のしやすさに着目して定義される値

です。断面一次モーメント、断面二次モーメントの分かりやすい解説、定義や詳細は下記をご覧ください。

断面一次モーメントとは｜わかりやすい意味・覚え方と断面二次モーメントとの違いを解説

断面一次モーメントとは？公式・図心の求め方と計算例

では実際に計算例を通して、断面一次モーメントと断面二次モーメントの違いを理解しましょう。下図に示す長方形のx方向に対する断面一次モーメント、断面二次モーメントを算定します。

断面一次モーメントと断面二次モーメントの違い1

断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から図心までの距離の積の総和」です。上図の長方形の断面積は縦×横なので

です。さらに、長方形の図心は真ん中にあるので、上図のx軸から長方形の図心までの距離はh/2です。以上より断面一次モーメントSxは

断面一次モーメントと断面二次モーメントの違い2

です。

次に断面二次モーメントを算定します。断面二次モーメントは断面の図心軸(gx軸)に対する値が構造的に重要（図心を通る断面二次モーメントは最小値）です。

断面一次モーメントと断面二次モーメントの違い3

断面二次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から図心までの距離の二乗の積の総和」ですが、断面一次モーメントと違い「x(y)軸から図心までの距離の二乗」なので、連続数の合計値を算定できる「積分」を用います（微小領域の計算を断面全体に適用する必要がある）。そうしない（∑を用いた総和計算をする）と正しい値が算定できません。よって

断面一次モーメントと断面二次モーメントの違い4

になります。断面二次モーメントの公式の導出は下記をご覧ください。

断面二次モーメントの導出方法は？公式の意味と慣性モーメントとの関係

以上より、同じ長方形でも断面一次モーメントと断面二次モーメントでは、使い方、考え方、導出方法、値など全く異なります。繰り返しますが、断面一次モーメントと断面二次モーメントでは、全く異なる発想により定義される値であり、両者に関係は無いです。

なお、断面一次モーメントの単位はmm3、cm3等の長さの単位の三乗で、断面二次モーメントの単位はmm4、cm4のように長さの単位の四乗です。

混同しやすい用語

断面一次モーメント

断面積×重心までの距離で求め、図心・せん断応力の算定に使う。

単位はmm3・cm3（三乗）。

断面二次モーメント

断面積×重心までの距離の二乗で求め、曲げ剛性・たわみ・座屈の算定に使う。

単位はmm4・cm4（四乗）。

断面一次モーメントと断面二次モーメントの違いを整理した表を示します。

項目	内容	備考
断面一次モーメント	断面積×図心軸までの距離の総和（Sx=∑yA）	図心位置・せん断応力度の算定に使う
断面二次モーメント	断面積×図心軸までの距離の二乗の総和（Ix=∫y2dA）	たわみ・座屈・剛性の算定に使う
単位の違い	一次：mm3（三乗）、二次：mm4（四乗）	次数の違いに注意