三角形の断面一次モーメントとは｜公式の導出方法と図心の計算例を解説

この記事の要点

断面計算では長方形や三角形が基本図形として繰り返し登場する。

三角形の図心が底辺からh/3の位置にあることを、積分から自力で導けるかどうかは理解の深さを測るよい指標だ。

この記事では三角形の断面一次モーメントの公式・積分による導出方法・図心の求め方を計算例付きで解説する。

断面一次モーメントは「断面積×図心までの距離」で求めることができ、三角形の図心が底辺から1/3の高さにあることがポイントとなる。

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三角形の断面一次モーメントの公式は

三角形の断面一次モーメントの公式1

三角形の断面一次モーメントです。断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離」です。下図のように、三角形の幅はb、高さがh、三角形の図心は高さの1/3の位置なので、

三角形の断面一次モーメントの公式2

です。

三角形の断面二次モーメント

以上より簡単に三角形の断面一次モーメントが算定できます。

あらかじめ三角形の図心位置が分かっている場合、前述のように簡単に三角形の断面一次モーメントが算定できました。

次は、断面一次モーメントの定義式（Sx＝∫ydA）より、三角形の断面一次モーメントを導出した後、三角形の図心を求めましょう。

下図に示す三角形について、底辺からある高さyにおける微小断面の高さをdy、幅をxとします。

また、三角形の高さはh、幅はbです。

三角形の断面二次モーメント

上図より、相似の関係から幅xは

x:b＝(h－y):h

x＝b(h－y)/h

です。よって、三角形の微小断面積dAは

dA=dy×x＝dy (h－y) b/h

です。あとは断面一次モーメントの定義式にあてはめると

三角形の断面一次モーメントの公式3

になりますね。上記より、あらかじめ三角形の図心位置が分かっていなくても、三角形の断面一次モーメントが算定できました。次に三角形の図心位置を求めましょう。図心は下式より求めます。

三角形の断面一次モーメントの公式4

よって、x軸に対する三角形の図心位置は

三角形の断面一次モーメントの公式5

ですね。図心の考え方は下記をご覧ください。

混同しやすい用語

三角形の断面一次モーメント：bh2/6

底辺b・高さhの三角形断面について、底辺を基準軸とした断面一次モーメントの公式。

三角形の図心が底辺からh/3の位置にあることから導出される。

長方形の断面一次モーメントbh2/2に対して、三角形は断面積が半分（bh/2）かつ図心距離もh/3（長方形はh/2）となるため、値が1/3となる。

三角形の図心位置

三角形の図心は底辺から高さの1/3（h/3）の位置にある。

この性質が断面一次モーメントの計算の基礎となる。

長方形の図心が高さの1/2（h/2）にあるのに対して、三角形の図心は底辺に近い側にあるという違いを覚えておくとよい。

三角形の断面一次モーメントを整理した表を示します。