三角形の断面一次モーメントの公式と導出方法、三角形の図心の求め方

この記事の要点

三角形の断面一次モーメントの公式はbh2/6であり、底辺b・高さhの三角形断面の図心位置（底辺からh/3）から導出できる。

断面一次モーメントは「断面積×図心までの距離」で求めることができ、三角形の図心が底辺から1/3の高さにあることがポイントとなる。

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三角形の断面一次モーメントの公式は

三角形の断面一次モーメントの公式1

三角形の断面一次モーメントです。断面一次モーメントの公式は「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離」です。下図のように、三角形の幅はb、高さがh、三角形の図心は高さの1/3の位置なので、

三角形の断面一次モーメントの公式2

です。

三角形の断面二次モーメント

以上より簡単に三角形の断面一次モーメントが算定できます。

断面一次モーメントの公式は？三角形、円形、四角形の公式、複雑な断面を積分を使わずに簡単に計算する方法

あらかじめ三角形の図心位置が分かっている場合、前述のように簡単に三角形の断面一次モーメントが算定できました。次は、断面一次モーメントの定義式（Sx＝∫ydA）より、三角形の断面一次モーメントを導出した後、三角形の図心を求めましょう。下図に示す三角形について、底辺からある高さyにおける微小断面の高さをdy、幅をxとします。また、三角形の高さはh、幅はbです。

三角形の断面二次モーメント

上図より、相似の関係から幅xは

x:b＝(h－y):h

x＝b(h－y)/h

です。よって、三角形の微小断面積dAは

dA=dy×x＝dy (h－y) b/h

です。あとは断面一次モーメントの定義式にあてはめると

三角形の断面一次モーメントの公式3

になりますね。上記より、あらかじめ三角形の図心位置が分かっていなくても、三角形の断面一次モーメントが算定できました。次に三角形の図心位置を求めましょう。図心は下式より求めます。

三角形の断面一次モーメントの公式4

よって、x軸に対する三角形の図心位置は

三角形の断面一次モーメントの公式5

ですね。図心の考え方は下記をご覧ください。

図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

混同しやすい用語

三角形の断面一次モーメント：bh2/6

底辺b・高さhの三角形断面について、底辺を基準軸とした断面一次モーメントの公式。三角形の図心が底辺からh/3の位置にあることから導出される。

長方形の断面一次モーメントbh2/2に対して、三角形は断面積が半分（bh/2）かつ図心距離もh/3（長方形はh/2）となるため、値が1/3となる。

三角形の図心位置

三角形の図心は底辺から高さの1/3（h/3）の位置にある。この性質が断面一次モーメントの計算の基礎となる。

長方形の図心が高さの1/2（h/2）にあるのに対して、三角形の図心は底辺に近い側にあるという違いを覚えておくとよい。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では「三角形の断面一次モーメントbh2/6」の値や、三角形の図心位置（底辺からh/3）が問われることがあります。

公式の丸暗記よりも、図心位置と断面積の積として導ける流れを理解しておくと、忘れても自分で導出できるようになります。

三角形の断面一次モーメントを整理した表を示します。

項目	内容	備考
三角形の断面一次モーメント	Sx＝bh2/6	底辺を基準軸とした値
三角形の図心位置	底辺からh/3の位置	長方形の図心（h/2）より底辺に近い
長方形との比較	長方形はbh2/2、三角形はその1/3	断面積が半分かつ図心距離も小さいため

まとめ

今回は、三角形の断面一次モーメントの公式、導出方法について説明しました。三角形の断面一次モーメントの公式は「bh^2/6」です。あらかじめ三角形の図心位置が分かっている場合「断面積×x(y)軸から断面図心までの距離」からbh^2/6が算定できます。断面一次モーメントの意味、図心の考え方など下記も勉強しましょう。

断面一次モーメントについて

図心ってなに？図心の求め方と断面一次モーメントの関係

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