断面二次モーメントの引き算とは？図心を通らない断面の求め方（平行軸の定理）

この記事の要点

断面二次モーメントは「大きい外形の断面からくり抜き部分を引き算する」方法で複雑な断面を計算できます。

例えば中空断面ではI = I_外 - I_内で求めます。

図心を通らない断面では「平行軸の定理（I = Ig + A×d²）」を使います。

移動距離dの二乗×断面積を加算する手順を解説します。

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断面二次モーメントは引き算により複雑な図形の値を算定できます（※ただし、各部分の図形の図心は図形全体としての図心軸を通ること）。

たとえば、Ｈ形断面やＩ形断面、角型断面、コの字断面の断面二次モーメントの公式は引き算により求められます。

今回は、断面二次モーメントの引き算のやり方、例題、図心を通らない断面二次モーメントの求め方について説明します。

断面二次モーメントの詳細、導出は下記が参考になります。

断面二次モーメントの引き算とは？例題

断面二次モーメントは引き算により複雑な図形の値を算定できます。ただし、断面二次モーメントの引き算ができる条件として「各部分の図形の図心と図形全体としての図心は一致」する必要があります。

たとえば、下図のようにＨ形断面としての図心、１つの大きな長方形、2つの小さな長方形は図心が一致します。各部分の図心、図形全体としての図心は一致しており、断面二次モーメントの引き算が可能です。

断面二次モーメントの引き算の条件1

一方、Ｔ型のように、Ｔ型としての図心とＴ型を構成する各部分の図心は決して一致しないので（図心軸を通らない）、断面二次モーメントの引き算はできません。その代わり、後述する断面二次モーメントの足し算（足し合わせ）により求めます。

断面二次モーメントの引き算の条件2

実際にＨ形断面の断面二次モーメントを引き算により求めましょう。下図のように、大きな長方形の断面二次モーメント、小さな２つの断面二次モーメントをそれぞれ算定し引き算すればよいのです。

h形鋼断面の断面二次モーメントの求め方

大きな長方形の断面二次モーメントは下式です。

(BH^3)/12

２つの小さな長方形の断面二次モーメントは下式です（1つの長方形を求めて２倍すればよい）。

(bh^3)/12

両者を引き算すればよいので、Ｈ形断面の断面二次モーメントは

I=(BH^3)/12-(bh^3)/12

となります。断面二次モーメント、Ｈ形断面の断面二次モーメントの詳細は下記が参考になります。

H形断面のフランジ部分のように、図心を通らない図形の断面二次モーメントは下式により算定します。yoは図心軸から図心を通らない図形の中心までのｙ方向の距離（xoはx方向の距離）、Ａは図心を通らない図形の断面積です。

上式に図心を通る部分の断面二次モーメントIuまたはIvを足し算すれば、図形全体の断面二次モーメントとして下式が得られます。

上式を用いると、下図に示すトラス梁やＨ形断面の断面二次モーメントも簡単に算定できます。

図心を通らない断面二次モーメント

混同しやすい用語

断面二次モーメントの引き算

大きい断面から小さい断面のIを引いて、H型・箱型などの中空断面のIを求める方法。

断面二次モーメントの足し算（加算）

複数の矩形断面のIを合算するときに使う。

各部の図心が共通図心を通る必要がある。

断面二次モーメントの引き算を整理した表を示します。