断面二次モーメントの定義と定義式の意味は？公式の出し方は？

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断面二次モーメントの定義式は下記の通りです。また下記の定義は、任意の軸（ここではx軸、y軸）から断面の微小範囲の断面積dAの図心までの距離xまたはyの2乗に微小断面積dAの積「y^2dA（またはx^2dA）」を断面全体について総和することを意味します。

断面二次モーメントの定義式1

断面二次モーメントの定義式2

上記を計算することで断面の曲げにくさを算定できるのですが、なぜ、距離の二乗と断面積の積が断面の曲げにくさを表すのかは、物理学で習う「慣性モーメント」が関係します。

慣性モーメントについて考えます。下図に示すように、点Oを中心に物体を回すことをイメージします。物体A、Bのどちらが回しやすいか考えましょう。なお、物体A、Bともに、点Oから物体中心までの距離はrです。

断面二次モーメントの定義式3

直感的に質量の大きい物体Aの方が回しにくい、と感じる方が多いと思います。先端の重りが大きいと回しにくいですよね。では下図に示す条件はどうでしょうか。物体A、Bの質量は同じですが、回転中心から物体の中心までの距離が違います。この場合、距離の長いBの方が回しにくいと感じたはずです。

断面二次モーメントの定義式4

このとき、物体の質量をm、回転中心から物体の中心までの距離（回転半径）をrとするとき、mとrの２乗の積を慣性モーメントといいます。

断面二次モーメントの定義式5

さらに、物体を回転させようとする力Mと慣性モーメントＩの関係は下式です。θ''(t)は角加速度で回転角の２回微分で求められます。

上式より慣性モーメントIが大きくなるほど角加速度は小さくなります（回転がゆっくりになる）。つまり、慣性モーメントの大きい方が回しにくいのです。

以上の慣性モーメントを、断面の回転のしやすさに置き換えて考えれば

・質量m　⇒　微小断面積dＡ

・半径r　⇒　距離x、y

であり、x軸、y軸まわりの回転のしやすさ、すなわち曲げやすさを表す下式が得られます。

断面二次モーメントの定義式7

上式について、全断面の曲げやすさを求めるには、全断面における上式の総和すなわち積分すればよいので

断面二次モーメントの定義式8

が得られます。

まとめ

今回は、断面二次モーメントの定義式と定義について説明しました。断面二次モーメントの定義は、の定義は、任意の軸（ここではx軸、y軸）から断面の微小範囲の断面積dAの図心までの距離xまたはyの2乗に微小断面積dAの積「y^2dA（またはx^2dA）」を断面全体について総和することです。断面二次モーメントの考え方は下記も参考になります。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係