断面二次モーメントの定義と定義式の意味は？公式の出し方は？

この記事の要点

断面二次モーメントの定義式はI=∫y2dA（断面全体の「断面積×距離の二乗」の総和）です。

長方形断面ではbh3/12の公式が導出され、単位はmm?やcm?（長さの四乗）になります。

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断面二次モーメントの定義式は下記の通りです。また下記の定義は、任意の軸（ここではx軸、y軸）から断面の微小範囲の断面積dAの図心までの距離xまたはyの2乗に微小断面積dAの積「y^2dA（またはx^2dA）」を断面全体について総和することを意味します。

上記を計算することで断面の曲げにくさを算定できるのですが、なぜ、距離の二乗と断面積の積が断面の曲げにくさを表すのかは、物理学で習う「慣性モーメント」が関係します。

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慣性モーメントについて考えます。下図に示すように、点Oを中心に物体を回すことをイメージします。物体A、Bのどちらが回しやすいか考えましょう。なお、物体A、Bともに、点Oから物体中心までの距離はrです。

直感的に質量の大きい物体Aの方が回しにくい、と感じる方が多いと思います。

先端の重りが大きいと回しにくいですよね。

では下図に示す条件はどうでしょうか。

物体A、Bの質量は同じですが、回転中心から物体の中心までの距離が違います。

この場合、距離の長いBの方が回しにくいと感じたはずです。

このとき、物体の質量をm、回転中心から物体の中心までの距離（回転半径）をrとするとき、mとrの２乗の積を慣性モーメントといいます。

さらに、物体を回転させようとする力Mと慣性モーメントＩの関係は下式です。θ''(t)は角加速度で回転角の２回微分で求められます。

上式より慣性モーメントIが大きくなるほど角加速度は小さくなります（回転がゆっくりになる）。つまり、慣性モーメントの大きい方が回しにくいのです。

以上の慣性モーメントを、断面の回転のしやすさに置き換えて考えれば

・質量m　⇒　微小断面積dＡ

・半径r　⇒　距離x、y

であり、x軸、y軸まわりの回転のしやすさ、すなわち曲げやすさを表す下式が得られます。

上式について、全断面の曲げやすさを求めるには、全断面における上式の総和すなわち積分すればよいので

が得られます。

混同しやすい用語

断面二次モーメントの定義式

I=∫y2dA（積分形）で、任意軸から微小断面積の図心までの距離yの二乗×断面積の総和。

慣性モーメント（物理）

I=mr2で、質量×回転半径の二乗。

断面二次モーメントは慣性モーメントの概念を断面に適用したもの。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では「断面二次モーメントの定義式の意味」が問われることがあります。

積分の概念が難しければ「断面積×軸からの距離の二乗」の足し算という意味を押さえましょう。

断面二次モーメントの定義を整理した表を示します。

項目	内容	備考
定義式	I＝∫y2dA	任意軸からの距離の二乗×断面積の積分
慣性モーメントとの関係	質量m→断面積A、半径r→距離y	物理の慣性モーメントI＝mr2を断面に適用
物理的な意味	断面の曲げにくさ（曲げ剛性の指標）	Iが大きいほど曲げにくい断面

まとめ

今回は、断面二次モーメントの定義式と定義について説明しました。断面二次モーメントの定義は、の定義は、任意の軸（ここではx軸、y軸）から断面の微小範囲の断面積dAの図心までの距離xまたはyの2乗に微小断面積dAの積「y^2dA（またはx^2dA）」を断面全体について総和することです。断面二次モーメントの考え方は下記も参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

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