平行軸の定理と断面二次モーメント｜公式（Ix=Iu+y₀²A）と導出

この記事の要点

平行軸の定理とは「Ix=Iu+y?2A」で表される定理で、図心を通らない任意の軸まわりの断面二次モーメントを算定できます。

図心から離れるほど断面二次モーメントは大きくなり、H形断面や複合断面の計算に広く使われます。

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平行軸の定理とは、任意の軸に対する断面二次モーメントは「Ix=Iu+y0^2A」で計算できるという定理です。Ixは任意の軸、Iuは断面の図心周りの断面二次モーメント、y0は任意の軸から図心までの距離、Aは断面積です。

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係1

上図をみてください。

uv軸は図心軸、xy軸は図心からxo、yoだけ離れた軸です。

つまり、平行軸の定理を用いれば、図心を通らない断面の断面二次モーメントを算定できます。

また、平行軸の定理より、任意の軸から断面の図心が離れるほど断面二次モーメントは大きくなり、断面の図心を通るときxo=0、yo=0なので、断面の図心を通る断面二次モーメントは最小値となります。

具体的に図心を通らない場合の断面二次モーメントを算定しましょう。幅がb、高さがhの長方形のx軸に対する断面二次モーメントIxは

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係2

のように計算できます。

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係3

平行軸の定理を用いれば、トラス梁、H形断面、鉄筋コンクリート断面など複雑な形状の断面二次モーメントを比較的簡単に算定できます。詳細は下記をご覧ください。

では、なぜ平行軸の定理が成り立つのか導出します。下図のように、原点Oと任意の座標軸xyを考え、その座標軸が(xo,yo)だけ平行移動した座標軸uv と断面二次モーメントの関係を考えましょう。

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係4

x軸まわりの断面二次モーメントは

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係5

です。x軸とu軸の関係より

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係6

となります。Suはu軸まわりの断面一次モーメント、Iuはu軸まわりの断面二次モーメントです。y軸回りも同様に求めると

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係7

になります。ここに、uv座標軸を図心に平行移動することを考えます。図心では断面一次モーメントは0になるので、

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係8

以上より、xy軸から断面の図心に軸を平行移動したときのx軸、y軸まわりの断面二次モーメントは

平行軸の定理と断面二次モーメントの関係9

となり、平行軸の定理を導けました。

混同しやすい用語

断面二次モーメントと断面極二次モーメント

断面二次モーメント（I）は曲げに対する断面性能で、x軸またはy軸まわりの値です。

断面極二次モーメント（Ip=Ix+Iy）はねじりに対する断面性能です。

図心軸と任意の軸

図心軸は断面の重心（図心）を通る軸で、この軸まわりの断面二次モーメントが最小値になります。

任意の軸は図心以外を通る軸で、平行軸の定理を使って断面二次モーメントを求めます。

試験での問われ方｜管理人の一言

平行軸の定理を使うと、複雑な断面（H形鋼や複合断面）の断面二次モーメントを効率よく計算できます。

各部分の断面を分割して図心位置を求め、定理を適用する手順を覚えましょう。

平行軸の定理を整理した表を示します。