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断面二次モーメントを積分で求める理由は？ｈ型の断面二次モーメントを求める計算は？

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断面二次モーメントを積分で求める理由は「あらゆる断面形状（任意断面）の断面二次モーメントを算定できるから」です。また、四角形や円形、三角形の断面二次モーメントの公式は「積分を行うことで導出」できます。


断面二次モーメントを積分で求める定義式を下記に示します。


断面二次モーメントを積分で求める定義式


では、どのような考え方で上式を導くのか詳細に解説します。まず、断面二次モーメントは「物体の回転のしやすさに着目」して定義されます。


下図に示すように、点Oを中心に物体を回すことを考えます。物体A、Bのどちらが回しやすいか考えましょう。


断面二次モーメントの定義式3


直感的に質量の大きい物体Aの方が回しにくい、と感じる方が多いと思います。では下図に示す条件はどうでしょうか。回転中心から物体の中心までの距離が違います。よって、距離の長いBの方が回しにくいと感じたはずです。


断面二次モーメントの定義式4


このとき、物体の質量をm、回転中心から物体の中心までの距離（回転半径）をrとするとき、mとrの２乗の積を慣性モーメントといいます。


断面二次モーメントの導出方法3


上式の慣性モーメントを、断面の回転のしやすさに置き換えて考えます。断面について考えるのですから、m(＝ρAL)の密度ρと長さLを無視すれば、質量mは断面積Ａに置き換えできます。また、回転中心を任意のx軸、y軸と考え、軸から断面の図心までの距離をx、yとすれば、x軸、y軸まわりの回転のしやすさ、すなわち曲げやすさ（曲げにくさ）を表す下式が得られます。


断面二次モーメントの導出方法5


上式より、Iはx、yの２乗に比例するので、断面積の大きさよりも軸から図心までの距離を離すほうが、効率的に曲げにくい断面とできることがわかります。


次に、回転軸を図心として任意断面の曲げやすさを考えましょう。?


断面二次モーメントの導出方法6


任意断面はアメーバーのようにグニャグニャと書いて表現するのですが、これは「任意断面の形状は決まっていない。あらゆる断面形状を想定」しているのです。四角でも三角でも円形もよいですし、ドーナツ型でも空に浮かぶ雲の形でもよいのです。だから、グニャグニャとした何となくの形状として表現します。


前述したように、断面の曲げにくさは「断面積×座標軸から断面図心までの距離」でした。これを任意断面について算定する場合、任意断面の微小断面積dAの曲げにくさについて求め、この微小断面の曲げにくさを「任意の断面形状の範囲まで総和すなわち積分すればよい」のです。実際に計算しましょう。


任意断面の微小断面積をdAとし、x軸から微小断面の図心までの距離をyとします。このとき微小断面の曲げやすさは下式で表します。


断面二次モーメントの導出方法7


さて、積分とはある領域の面積を求めることです。繰り返しますが、微小断面の曲げにくさを「任意断面の曲げにくさとなるよう積分」すればよいので


断面二次モーメントの導出方法8


が得られます。同様にy軸まわりの断面二次モーメントは


断面二次モーメントの導出方法9


となります。


また、矩形断面や矩形を組合せた断面形状では下式の方が実用的です。


断面二次モーメントの導出方法10


なお、図心に近い断面は断面二次モーメントの大きさにあまり寄与しません。このことから、図心に近い断面は削ぎ落して軽量化し、図心からできるだけ離した位置に断面を配置する（せいを大きくする）と効率的な断面が得られる、という発想が生まれます。


鋼のような加工性に優れた材料では、箱形やH形、I形など様々な形状の断面があります。また、断面二次モーメントは梁のたわみ、座屈、曲げ応力度などあらゆる場面で使います。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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ｈ型の断面二次モーメントを求める計算は？

ｈ型の断面二次モーメントを求める計算式を下記に示します。


図　h形鋼断面の断面二次モーメントの求め方

I=(BH^3)/12-(bh^3)/12


ｈ形鋼の断面二次モーメントの詳細は下記をご覧ください。

h形鋼断面の断面二次モーメントは？5分でわかる求め方、弱軸と強軸の違い、一覧

まとめ

今回は、断面二次モーメントを積分で求める理由について説明しました。断面二次モーメントの定義式に積分を用いる理由は「任意の断面形状における断面二次モーメントを算定するため」です。断面二次モーメントの考え方も併せて勉強しましょう。断面二次モーメントの詳細は下記も参考になります。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

断面二次モーメントの導出方法は？式の意味と考え方、慣性モーメントとの関係

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