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HOME > 構造力学の基礎 > 断面二次モーメントを積分で求める理由は？ｈ型の断面二次モーメントを求める計算は？

断面二次モーメントを積分で求める方法｜H形・矩形断面の導出手順

この記事の要点

断面二次モーメントの公式を覚えているだけでは、不規則な断面形状に対応できない。

積分の定義から理解しておくと、複合断面でも自分で計算できるようになる。

I=∫y²dAという定義式は「中立軸からの距離の二乗」に面積要素dAをかけた総和だ。

この式を理解すると、なぜ「高さに強く影響する」かも自然に納得できる。

H形断面の導出を例に、積分操作の手順を整理する。

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断面二次モーメントを積分で求める理由は「あらゆる断面形状（任意断面）の断面二次モーメントを算定できるから」です。また、四角形や円形、三角形の断面二次モーメントの公式は「積分を行うことで導出」できます。

断面二次モーメントを積分で求める定義式を下記に示します。

断面二次モーメントを積分で求める定義式

では、どのような考え方で上式を導くのか詳細に解説します。まず、断面二次モーメントは「物体の回転のしやすさに着目」して定義されます。

下図に示すように、点Oを中心に物体を回すことを考えます。物体A、Bのどちらが回しやすいか考えましょう。

断面二次モーメントの定義式3

直感的に質量の大きい物体Aの方が回しにくい、と感じる方が多いと思います。では下図に示す条件はどうでしょうか。回転中心から物体の中心までの距離が違います。よって、距離の長いBの方が回しにくいと感じたはずです。

断面二次モーメントの定義式4

このとき、物体の質量をm、回転中心から物体の中心までの距離（回転半径）をrとするとき、mとrの２乗の積を慣性モーメントといいます。

上式の慣性モーメントを、断面の回転のしやすさに置き換えて考えます。

断面について考えるのですから、m(＝ρAL)の密度ρと長さLを無視すれば、質量mは断面積Ａに置き換えできます。

また、回転中心を任意のx軸、y軸と考え、軸から断面の図心までの距離をx、yとすれば、x軸、y軸まわりの回転のしやすさ、すなわち曲げやすさ（曲げにくさ）を表す下式が得られます。

断面二次モーメントの導出方法5

上式より、Iはx、yの２乗に比例するので、断面積の大きさよりも軸から図心までの距離を離すほうが、効率的に曲げにくい断面とできることがわかります。

次に、回転軸を図心として任意断面の曲げやすさを考えましょう。?

断面二次モーメントの導出方法6

任意断面はアメーバーのようにグニャグニャと書いて表現するのですが、これは「任意断面の形状は決まっていない。

あらゆる断面形状を想定」しているのです。

四角でも三角でも円形もよいですし、ドーナツ型でも空に浮かぶ雲の形でもよいのです。

だから、グニャグニャとした何となくの形状として表現します。

前述したように、断面の曲げにくさは「断面積×座標軸から断面図心までの距離」でした。

これを任意断面について算定する場合、任意断面の微小断面積dAの曲げにくさについて求め、この微小断面の曲げにくさを「任意の断面形状の範囲まで総和すなわち積分すればよい」のです。

実際に計算しましょう。

任意断面の微小断面積をdAとし、x軸から微小断面の図心までの距離をyとします。このとき微小断面の曲げやすさは下式で表します。

さて、積分とはある領域の面積を求めることです。繰り返しますが、微小断面の曲げにくさを「任意断面の曲げにくさとなるよう積分」すればよいので

断面二次モーメントの導出方法8

が得られます。同様にy軸まわりの断面二次モーメントは

断面二次モーメントの導出方法9

となります。

また、矩形断面や矩形を組合せた断面形状では下式の方が実用的です。

断面二次モーメントの導出方法10

なお、図心に近い断面は断面二次モーメントの大きさにあまり寄与しません。このことから、図心に近い断面は削ぎ落して軽量化し、図心からできるだけ離した位置に断面を配置する（せいを大きくする）と効率的な断面が得られる、という発想が生まれます。

鋼のような加工性に優れた材料では、箱形やH形、I形など様々な形状の断面があります。また、断面二次モーメントは梁のたわみ、座屈、曲げ応力度などあらゆる場面で使います。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

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ｈ型の断面二次モーメントを求める計算は？

ｈ型の断面二次モーメントを求める計算式を下記に示します。

図　h形鋼断面の断面二次モーメントの求め方

I=(BH^3)/12-(bh^3)/12

ｈ形鋼の断面二次モーメントの詳細は下記をご覧ください。

h形鋼断面の断面二次モーメントは？5分でわかる求め方、弱軸と強軸の違い、一覧

混同しやすい用語

断面二次モーメントを積分で求める理由

任意形状の断面（不規則な形など）のIを厳密に計算するため、I=∫y2dAの積分定義式を使う。

断面二次モーメントの公式（長方形）

bh3/12は積分の結果を整理した公式。

積分を使わなくても矩形断面なら公式で直接求められる。

断面二次モーメントを積分で求める理由を整理した表を示します。

項目	内容	備考
積分を使う理由	任意断面形状のIを算定できる	円・三角・不規則形状に対応
定義式	I＝∫y2dA（x軸まわり）	微小断面積×距離の二乗の積分
実用公式（長方形）	I＝bh3/12	積分の結果を整理した公式