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たわみ公式の導出、片持ち梁、両端支持梁のたわみ公式の導出

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たわみ公式の導出は、下記に示す梁のたわみ曲線を求める微分方程式を解く（両辺を積分する）ことで得られます。

上式は、曲率と曲げモーメントの関係から得られる方程式です。上式の導き方は下記をご覧ください。

たわみの微分方程式とは？EI(d²y/dx²)=Mの導出と単純梁・片持ち梁の境界条件

本記事ではたわみ公式の導出について、たわみ曲線を求める微分方程式を用いて、下記のたわみ公式を導出します。

たわみ公式を導出する手順を下記に示します。

１．曲げモーメントを求める

２．曲げモーメントを微分方程式に代入し積分を行う

３．支持条件を与えて積分定数を求める

４．たわみの最大値を求める

なお、梁の曲げモーメントを求める方法は省略します。曲げモーメントの求め方が分からない方は下記をご覧ください。

曲げモーメントとは？わかりやすい意味・正負の考え方と計算方法（図解）

中央に集中荷重の作用する単純梁のたわみ

下図に示す梁のたわみを求めます。

曲げモーメントは下記の通りです。

上記の区間について微分方程式を解きます。まず、0から L/2の区間について下式に曲げモーメントを代入すると

上式の両辺について1回積分すると

となります。なお、上式はたわみ角を表します。上式をさらに１回積分すると

です。

次にL/2から L区間について求めます。微分方程式に曲げモーメントを代入すると

L-x＝uと置き換えると

となるので上式の両辺を積分すると

また、同様の手順でさらに1回積分すると

を得ます。

積分定数（未知数）が４つあるので境界条件（支持条件）と連続条件（関数の連続性）を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、

x=0、y₁=0（0からL/2の区間）

x=L、y₂=0 （L/2からLの区間）

です。以上の条件より

です。連続条件は荷重より左側のたわみy1と荷重より右側のたわみy2に共通した条件です。いずれの場合も長さL/2とき、たわみ、たわみ角ともに同様の値です。

x=L/2、y1= y2より

x= L/2、θ1=θ2より

となります。以上よりA、Cを含む２式の連立方程式を解くと

です。前述の式にAおよびCを代入すると、たわみ曲線の式は

となります。

さて、梁に生じるたわみの最大値はどの位置になるかは、数学の極大値、極小値を求める方法を使います。下記に手順を示します。

１．たわみの式を1回微分する。

２．1回微分して得られた式=0としてxの値を計算する。

y1のたわみを1回微分すると

上記よりx=L/2の地点で最大のたわみが発生します。たわみ曲線の式にx=L/2を代入して、たわみの最大値を求めると

です。

等分布荷重の作用する単純梁のたわみ

前節と同様の手順で下図jに示す梁のたわみを求めます。なお、前節で解説済みの計算過程は適宜省略します。

梁の全長にわたり等分布荷重が作用します。0からLの区間での曲げモーメントは

です。上式に曲げモーメントを代入すると、

です。両辺について積分すると

を得ます。

境界条件、連続条件を設定して積分定数を求めます。支点のたわみは0なのでx=0及びx=L、y1=0です。よって

となります。以上より、たわみとたわみ角の式は次の通りです。

です。x=L/2のたわみ及びx=0の点でのたわみ角は式10.20です。

集中荷重の作用する片持ち梁のたわみ

下図に示す片持ち梁のたわみを求めます。

0からLの区間に生じる曲げモーメントは

です。上式に曲げモーメントを代入すると、

上式の両辺を積分すると

です。支点のたわみは0なのでx=0、y1=0となり固定端では回転はしないためx=0、θ1=0になります。よって

になります。以上より、たわみとたわみ角は

です。x=Lのたわみ及びたわみ角は最大となるので

です。

等分布荷重の作用する片持ち梁のたわみ

下図に示す片持ち梁のたわみを求めます。

0からLの区間に生じる曲げモーメントは

です。上式に曲げモーメントを代入すると、

上式の両辺を積分すると

です。支点のたわみは0なのでx=0、y1=0となり固定端では回転はしないためx=0、θ1=0になります。よって

になります。以上より、たわみとたわみ角は

です。x=Lのたわみ及びたわみ角は最大となるので

です。

たわみ公式の導出を整理した表を示します。

導出の手順	内容	ポイント
①微分方程式の設定	EI d2y/dx2 = M(x)を立式	曲率と曲げモーメントの関係から導く
②積分（たわみ角の算出）	1回積分してたわみ角θを求める	積分定数は境界条件で決定
③積分（たわみの算出）	再度積分してたわみδを求める	境界条件（支点でδ=0等）を代入

まとめ

今回は、たわみ公式の導出を解説しました。たわみ公式の導出は、下記に示す梁のたわみ曲線を求める微分方程式を解く（両辺を積分する）ことで得られます。

積分が面倒ですが、一度は、たわみ公式を導出して考え方を理解しましょう。また、たわみの微分方程式の導出、詳細は下記が参考になります。

たわみの微分方程式とは？EI(d²y/dx²)=Mの導出と単純梁・片持ち梁の境界条件

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• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


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