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曲げモーメントとは？わかりやすい意味、正負の考え方、記号と単位、曲げモーメントからせん断力を求める方法、公式、計算例は？

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曲げモーメントとは、わかりやすく言うと、部材を曲げようとする応力（部材内部に生じる力）です。モーメントは物体を回転させようとする力です。曲げモーメントは、部材内部に生じるので、曲げモーメントが生じると部材断面は湾曲します。今回は、曲げモーメントの意味、わかりやすい意味、正負の考え方、記号と単位、曲げモーメントからせん断力を求める方法、公式、計算例について説明します。梁の曲げモーメント、曲げモーメント図の詳細は下記が参考になります。

単純支持はりの曲げモーメントは？1分でわかる公式、求め方、たわみ、等分布荷重と集中荷重による違い

曲げモーメント図とは？1分でわかる意味、書き方、正負と引張側、等分布荷重が作用する単純梁との関係

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曲げモーメントとは？わかりやすい意味、正負の考え方は？

曲げモーメントとは、わかりやすく言うと、部材を曲げようとする応力（部材内部に生じる力）です。曲げモーメントは部材断面に生じる応力の1つです。部材断面にモーメント（物体を回転させようとする力）が生じることで、部材は湾曲しようとします。

曲げモーメント

繰り返しますが曲げモーメントは応力の1つです。外力、反力として作用するモーメントは「曲げモーメントとは言わない」ので混同に注意しましょう。たとえば、下図に示す片持ち梁に先端荷重が作用するとき、部材断面に生じるモーメントが「曲げモーメント」で、固定端（支点）に作用するモーメントは「反力としてのモーメント」です。

モーメントと曲げモーメントの違い

下図をみてください。梁は荷重によりたわんでいます。この梁の一部を切断して拡大してみると、梁の断面は「下側が伸びて、上側は縮む」ような変形をしています。理解できなければ、手元にある本を下図の回転方向に倣って曲げてみてください。上側は縮んで、下側は伸びるはずです。このとき、あなたの両手は本の両端を「曲げようとしている」のであり、この曲げようとする力が「曲げモーメント」です。さらに、部材断面の上側は縮み、下側が伸びるとき、部材断面は「湾曲する」ことがわかります。

曲げモーメントによる変形

もう少し深掘りして、梁の断面に生じる変形と応力の関係を考えます。下図をみてください。物体が「伸びる」とき物体には引張る力、物体が「縮む」とき物体を圧縮する力が生じています。

伸び縮みと応力

つまり、曲げモーメントとは「引張力と圧縮力が組み合わさった応力」とも言えるのです。なお、部材断面を注意深くみると「伸びも縮むもしない断面」があり、この面を「中立面」、中立面と断面が交わる軸を「中立軸」といいます。伸び縮みしない面では、当然、「引張力、圧縮力も作用しない（0）」のです。

曲げモーメントと中立軸

さて、前述した曲げモーメントは部材断面を下側凸に湾曲させる力でした。しかし、部材を上側凸に湾曲させる曲げモーメントが生じることもあります。

曲げモーメントの正負

よって、「下側凸に湾曲させる曲げモーメント」と「上側凸に湾曲させる曲げモーメント」を判断するために、曲げモーメントの向きは正負で表します。

曲げモーメントだけでなく、応力の向きは正負の符号をつけて表します。下図に各応力の向きと部材の変形、正負の関係を示します。また応力を求める場合、応力は正の向きと仮定して計算します。計算結果が正値であれば図の上段に示す変形、負値では下段の変形だと分かります。

曲げモーメントの正負と向き

曲げモーメントの記号と単位は？

曲げモーメントを表す記号は「M」です。曲げモーメントの単位はkNm、Nｍです。曲げモーメントは「力×長さ」で算定できるので、曲げモーメントの単位は力の単位と長さの単位の掛け算で表します。なお、建築業界では曲げモーメントの単位は「kNm」を使うことが多いです。これは、Nmで表すと桁数が大きくなり、曲げモーメントの数値が煩雑になるためです。曲げモーメントの単位、応力の記号の詳細は下記をご覧ください。

曲げモーメントの単位は？1分でわかる意味、応力、応力度、kgfとの関係

応力の記号は？1分でわかる意味、読み方、種類、ニューとロー

曲げモーメントからせん断力を求める方法は？

曲げモーメントMからせん断力Qを求める方法を下記に示します。下式より、曲げモーメントの式を微分すればせん断力Qが得られます。

曲げモーメントからせん断力を求める方法1

前述に示した曲げモーメントとせん断力の関係式を示しましょう。下図に示すように、梁に任意の分布荷重が作用して力がつりあっているとします。このとき梁の微小部分を抜き出して応力のつりあいを考えましょう。微小部分の長さをdxとします。

微小部分の応力

梁に作用する力はつりあっているのですから、微小部分においても力のつりあいは成立します。部材に生じる応力はせん断力、曲げモーメント、軸力の3つです。ただし、上図の梁には鉛直方向の荷重のみ作用するので軸力は0です。

以上より、梁の微小部分には下図のような応力および荷重が作用して力がつりあいます。

微小部分の力のつりあい

微小部分の右側では、分布荷重wxにより微小な応力が増加します。微小なせん断力、曲げモーメントをそれぞれdQx、dMx、左側のせん断力、曲げモーメントをQx、Mxとするとき

曲げモーメントからせん断力を求める方法2

となります。鉛直方向の力のつりあいは

曲げモーメントからせん断力を求める方法3

より

が得られます。上式より微小せん断力の大きさは、分布荷重と微小長さの積です。さらに両辺をdxで割ると

となり、上式はせん断力の1回微分したものが分布荷重になることを意味します。微分は関数の傾きを求めることに等しいので、せん断力の傾き（変化の割合）が分布荷重といえます。逆にいうと、部材に生じるせん断力が一定（あるいは0）の場合、分布荷重は作用していません。

次に点Aにおけるモーメントのつりあいを考えます。

曲げモーメントからせん断力を求める方法6

dx2、dQxdxは微小量の積のため無視できるくらい小さいと考えると

が求まります。上式より、微小曲げモーメントはせん断力と微小長さの積といえます。さらに両辺をdxで割ると

になります。上式は曲げモーメントの1回微分がせん断力になること、すなわち、曲げモーメントの変化の割合がせん断力といえます。せん断力と分布荷重の関係と同様に、曲げモーメントが一定の値（あるいは0）であればせん断力は0です。

さらに、

曲げモーメントからせん断力を求める方法9

が求められます。上式より、曲げモーメントの２回微分が分布荷重と等しくなります。以上より、曲げモーメント、せん断力、荷重には下記の関係があります。

曲げモーメントからせん断力を求める方法10

また、微分と積分は対の関係にあるので、1回積分すればせん断力、2回積分すれば曲げモーメントが求まることを意味します。つまり、せん断力、曲げモーメントはxの関数であり、分布荷重wxが作用するとき、xの増減に伴いQx、Mxも増減します。せん断力の詳細は下記が参考になります。

せん断応力とは？1分でわかる意味、公式と計算法、記号、平均せん断応力

曲げ応力とせん断応力の違いは？1分でわかる意味、変形、引張応力との関係は？

曲げモーメントの公式は？

曲げモーメントの公式を下記に示します。下記の通り、曲げモーメントの値を計算するときは、荷重と梁の長さの値が既知であれば簡単に計算できます。

曲げモーメントの公式1

曲げモーメントの公式2

曲げモーメントの公式は下記が参考になります。

曲げモーメントの公式は？1分でわかる公式、導出、両端固定、単純梁、片持ち梁

まとめ

今回は、曲げモーメントについて説明しました。曲げモーメントとは、わかりやすく言うと、部材を曲げようとする応力（部材内部に生じる力）です。部材内部にモーメント（物体を回転させようとする力）が生じることで、部材断面は湾曲します。また、曲げモーメントは引張応力と圧縮応力を組み合わせた応力です。単純梁に生じる曲げモーメントの求め方、曲げモーメントの公式など下記も勉強しましょう。

単純支持はりの曲げモーメントは？1分でわかる公式、求め方、たわみ、等分布荷重と集中荷重による違い

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