片持ち梁のたわみ計算｜途中集中荷重と先端荷重のたわみ公式を比較解説

この記事の要点

片持ち梁のたわみ公式は先端荷重のδ=PL³/3EIが基本だが、荷重が途中にかかる場合は係数が変わる。

設計では複数の荷重が同時にかかることが多く、重ね合わせの原理で計算する場面が多い。

この記事では途中集中荷重・先端荷重それぞれの片持ち梁のたわみ公式・計算手順・重ね合わせの方法を解説する。

a=0（先端荷重）とすれば標準公式δ=PL3/3EIが得られ、荷重が固定端に近づくほどたわみが小さくなる関係が理解できる。

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集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみは「δ＝pb^3/3EI×(1+3a/2b)」で算定できます。

δはたわみ、pは集中荷重、bは支点から集中荷重までの距離、aは集中荷重から梁先端までの距離、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメントです。

本式について、a=0（集中荷重が先端に作用する場合）では、先端荷重の作用する片持ち梁のたわみの式が得られます。

今回は、集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみ、先端荷重が作用する片持ち梁のたわみについて説明します。

集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみは？

集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみは下記の通りです。下記の通り、集中荷重の作用位置により、片持ち梁のたわみの大きさは変わります。

下式をみると、bが0に近づくほど（荷重位置が支点に近づく）、たわみは0に近づきます。

また、a=0のとき、荷重は先端位置に作用するため、後述する「先端荷重が作用する片持ち梁のたわみの式」と同様となります。

集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみ

片持ち梁の詳細、片持ち梁のたわみの計算と導出は下記が参考になります。

先端荷重が作用する片持ち梁、たわみの計算式を下記に示します。

δ＝PL3／3EI

先端荷重が作用する片持ち梁

δはたわみ、Ｐは先端集中荷重、Ｌは片持ち梁のスパン、Ｅはヤング係数、Ｉは断面二次モーメントです。

たわみは、スパンの3乗に比例するので、スパンの長い片持ち梁は注意が必要です。

また、集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみと比較すると、先端荷重の作用する片持ち梁の方が「たわみが大きい」ことが分かります。

混同しやすい用語

途中集中荷重のたわみ（一般式）

荷重位置が先端でない場合のたわみで、δ=Pb3/3EI×(1+3a/2b)と表し、荷重位置パラメータa・bで先端たわみが変化する。

先端集中荷重のたわみに対して、途中荷重の場合は荷重が固定端に近い（bが小さい）ほど先端たわみが小さくなる。

先端集中荷重のたわみ（標準式）

荷重が自由端（先端）に作用する場合のたわみで、δ=PL3/3EIで表す最も基本的な片持ち梁のたわみ公式。

途中集中荷重のたわみに対して、先端荷重はたわみが最大となる最も不利なケースで、一般式でa=0とした特殊ケースに相当する。

集中荷重が途中に作用する片持ち梁のたわみを整理した表を示します。