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モーメントのつり合いとは?1分でわかる意味、考え方、重心位置の求め方は?

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モーメントのつりあいとは、ある点における力のモーメント(物体を回転させようとする力)の総和です。モーメントのつり合いが0になるとき、物体は静止します。モーメントのつりあいは、構造力学で最も重要な法則の1つです。モーメントのつりあいの考え方を元に重心の算定、断面一次モーメントも定義できます。今回は、モーメントのつり合いの意味、考え方、重心位置の求め方について説明します。力のモーメント、重心の求め方など下記も参考になります。

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モーメントから重心を求める方法は?1分でわかる計算、モーメントのつりあい

モーメントのつりあい条件とは?【近日公開予定】

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モーメントのつり合いとは?考え方

モーメントのつり合いとは、ある点における力のモーメント(物体を回転させようとする力)の総和です。つまり、モーメントのつり合いが0になるとき物体は静止します。


モーメントのつり合いの考え方を解説します。下図に示すような、支点と梃(てこ)を用いて物体の質量を比較する器械を天秤(てんびん)といいます。


天秤


天秤は下図に示すように、梁と1つのピン支点からなる構造物と力学的には同じです。


天秤のモデル化


下図に示すように、質量WA、WBが作用してつりあうとき、ΣH=0、ΣV=0、ΣM=0が成り立ちます。


天秤の力のつりあい1


ピン支点でのモーメントは0なので、物体A、Bの重さをWA、WB、物体の重心位置から支点までの距離をLA、LBとすると、点Oでのモーメントのつりあいは下式となります(※ただし、てこの変形は考えない)。


モーメントのつり合い2


点Aを中心にモーメントのつりあいを求めても上式は成立します。まずはピン支点の支点反力Rを求めます。鉛直方向の力はつりあうので、


モーメントのつり合い3


となります。※なお、下向きの力を負値、上向きの力を正値と考える。点Aのモーメントのつりあいは、


モーメントのつり合い4


です。WA+WBは各重さの合力なので、上式は合力によるモーメントと各部分の重さによるモーメントの合計が等しい(つりあう)ことを意味します。


さて、上式を比率の関係で表すと


モーメントのつり合い5


となります。天秤がつりあうとき、重さの比率と距離の比率は等しくなければいけません。前述の図に示す天秤がつりあうとき重さWAの値を求めると


モーメントのつり合い6


となります。つまりWAは10kNに対して5倍もの質量でないとつりあいません。見方を変えれば10kNで50kNの力を生み出せることを意味します。式5.4または小さな力で大きな力を生み出す原理を、てこの原理ともいいます。

モーメントのつり合いと重心位置の求め方は?

前述より、ある点における各力のモーメントの総和は、合力のモーメントと等しくなります。合力は重心位置に作用するので、各力によるモーメントと合力の値が分かれば、合力の作用点すなわち重心位置が算定できます。


たとえば下図に示す重心位置は下式のように求められます。


モーメントのつり合いと重心位置の求め方

重心位置の計算


なお、上式の分子「P1L1+P2L2」を断面について定義した値が断面一次モーメントです。重心、断面一次モーメントの詳細は下記が参考になります。

重心とは?1分でわかる簡単な意味、定義、求め方、公式

モーメントのつりあい条件とは?【近日公開予定】

断面一次モーメントについて

まとめ

今回は、モーメントのつり合いについて説明しました。モーメントのつり合いとは、ある点における力のモーメントの総和です。モーメントのつり合いが0になるとき物体は静止します。力のモーメント、断面一次モーメント、重心位置など下記も勉強しましょう。

力のモーメントってなに?本当にわかるモーメントの意味と計算方法

モーメントから重心を求める方法は?1分でわかる計算、モーメントのつりあい

断面一次モーメントについて

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