モーメントのつり合いとは？1分でわかる意味、考え方、重心位置の求め方は？

この記事の要点

モーメントのつり合い（∑M＝0）はある点まわりの全モーメントの代数和がゼロという条件であり、反力や重心位置を求める基礎となる。複合形状の断面や不規則な形状の物体の重心は、各部分の面積（重量）×距離の和を全体で割る操作で求め、断面設計に直結します。

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モーメントのつり合いとは、ある点における力のモーメント（物体を回転させようとする力）の総和です。モーメントのつり合いが0になるとき、物体は静止します。モーメントのつりあいは、構造力学で最も重要な法則の１つです。モーメントのつりあいの考え方を元に重心の算定、断面一次モーメントも定義できます。今回は、モーメントのつり合いの意味、考え方、重心位置の求め方について説明します。力のモーメント、重心の求め方など下記も参考になります。

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モーメントのつり合いとは？考え方

モーメントのつり合いとは、ある点における力のモーメント（物体を回転させようとする力）の総和です。つまり、モーメントのつり合いが0になるとき物体は静止します。

モーメントのつり合いの考え方を解説します。下図に示すような、支点と梃（てこ）を用いて物体の質量を比較する器械を天秤（てんびん）といいます。

天秤は下図に示すように、梁と１つのピン支点からなる構造物と力学的には同じです。

天秤のモデル化

下図に示すように、質量WA、WBが作用してつりあうとき、ΣH=0、ΣV=0、ΣM=0が成り立ちます。

天秤の力のつりあい1

ピン支点でのモーメントは0なので、物体A、Bの重さをWA、WB、物体の重心位置から支点までの距離をLA、LBとすると、点Oでのモーメントのつりあいは下式となります（※ただし、てこの変形は考えない）。

モーメントのつり合い2

点Aを中心にモーメントのつりあいを求めても上式は成立します。まずはピン支点の支点反力Rを求めます。鉛直方向の力はつりあうので、

モーメントのつり合い3

となります。※なお、下向きの力を負値、上向きの力を正値と考える。点Aのモーメントのつりあいは、

モーメントのつり合い4

です。WA+WBは各重さの合力なので、上式は合力によるモーメントと各部分の重さによるモーメントの合計が等しい（つりあう）ことを意味します。

さて、上式を比率の関係で表すと

となります。天秤がつりあうとき、重さの比率と距離の比率は等しくなければいけません。前述の図に示す天秤がつりあうとき重さWAの値を求めると

モーメントのつり合い6

となります。つまりWAは10kNに対して5倍もの質量でないとつりあいません。見方を変えれば10kNで50kNの力を生み出せることを意味します。式5.4または小さな力で大きな力を生み出す原理を、てこの原理ともいいます。

モーメントのつり合いと重心位置の求め方は？

前述より、ある点における各力のモーメントの総和は、合力のモーメントと等しくなります。合力は重心位置に作用するので、各力によるモーメントと合力の値が分かれば、合力の作用点すなわち重心位置が算定できます。

たとえば下図に示す重心位置は下式のように求められます。

モーメントのつり合いと重心位置の求め方

重心位置の計算

なお、上式の分子「P1L1+P2L2」を断面について定義した値が断面一次モーメントです。重心、断面一次モーメントの詳細は下記が参考になります。

重心とは？1分でわかる簡単な意味、定義、求め方、公式

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断面一次モーメントについて

混同しやすい用語

「モーメントのつり合い（ΣM=0）」と「力のつり合い（ΣF=0）」

モーメントのつり合いはある点まわりのすべてのモーメントの和がゼロになる条件。未知の反力を求めるために使う。

「重心（G）の求め方」と「反力の求め方」

重心位置はΣ(mi×xi)/Σmiで求まり、これはモーメントのつり合いと同様の計算。反力計算もΣM=0を基点の変えながら立てて連立させる。

試験での問われ方｜管理人の一言

モーメントのつり合い（ΣM=0）は構造力学の計算の基本です。支点を基準点に取れば、その支点の反力が消えて他の未知反力を求めやすくなります。複数の未知反力がある場合は複数点でΣM=0を立てます。

モーメントのつり合いを整理した表を示します。

項目	内容	備考
つり合い条件（ΣM=0）	ある点まわりのモーメントの総和がゼロ	静止状態の基本
重心の算定	ΣMiをΣFiで割ることで重心位置を求める	断面一次モーメントも同原理
支点反力の計算	任意の支点を基準にΣM=0を立てる	未知反力を一方に集約できる