モーメントのつりあいから重心を求める計算方法

この記事の要点

複合断面の重心位置を求めるとき、各部分の面積×距離の和を全体面積で割るという手順を使う。

これはモーメントのつりあい条件から導かれる考え方だ。

断面二次モーメントの計算でも重心位置（図心）が基準点になるので、重心の計算は構造計算の出発点になる。

L形・T形・H形断面で手順を確認しておくと、いろいろな断面計算に応用できる。

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モーメントから重心を求める方法物体の重心位置はモーメントの計算（つりあい）から算定できます。

重心は、物体の全重量が作用する点なので「各重さによるモーメントの総和＝合力によるモーメント」の関係から、重心位置を算定します。

今回は、モーメントから重心を求める方法、計算、モーメントのつりあいについて説明します。

力のモーメント、モーメントのつり合いの詳細は下記が参考になります。

モーメントから重心を求める方法は？

物体の重心はモーメントの計算（つりあい）により算定できます。

下図をみてください。１つの物体をいくつかの数に分割しても、当然、分割された部分にも重さがあります。つまり物体に生じる重力（重さ）は、物体の各部分に生じる重さの合計すなわち合力（ΣΔP=P）です。

物体の重さ

さて、物体の各部分の重さは各部分の重心に作用します。よって、物体の重さが作用する点（重心）は、各部分の重さの合力の作用点といえます。仮に物体の重心位置に、重力と等しい大きさかつ逆向きの力で押し返すと、物体に作用する力はつりあって静止します。

よって、各部分の重さによるモーメントと合力によるモーメントが等しいことを利用すれば重心が算定できるのです。重心、力のモーメントの詳細は下記をご覧ください。

下図に示す物体のx方向の重心を求めましょう。L形を２つの長方形に分割すれば、各長方形の重さは各々の重心に作用します。

重心位置の計算

各部分の重さはP1、P2なので合力はP1+P2です。原点Oから重心（合力の作用点）までの距離をLxとするとき、モーメントのつりあいは、

モーメントから重心を求める方法1

になります。上式をLxについて解けば

です。上式により合力の作用点（重心）を算定できます。

下図に示すように、剛な梁の点A、点Bに重さが作用します。点O（ピン支点）におけるモーメントのつりあいを求めます。点OではΣM＝0です。

天秤の力のつりあい1

重心とモーメントのつりあい

モーメントのつり合いの詳細は下記も参考になります。

混同しやすい用語

「重心（G）」と「図心（C）」

重心Gは物体の重さの中心点。

均一な材料では図心と一致する。

不均一な材料（複合断面など）では異なる位置になる。

「モーメントのつり合い」と「力のつり合い」

モーメントのつり合いはある点まわりのモーメントの和がゼロになる条件（ΣM=0）。

力のつり合いは各方向の力の和がゼロになる条件（ΣF=0）。

両条件を満たすと静止状態になる。

モーメントと重心の関係を整理した表を示します。