応力の平衡方程式

この記事の要点

応力の平衡方程式（つり合い方程式）は物体内の微小要素に作用する応力成分と体積力のつり合い条件を表した偏微分方程式であり、弾性力学の基礎方程式の一つである。

静的問題では慣性項がゼロとなり平衡方程式は∂σij/∂xj＋fi=0の形で表され、応力分布を求める際の支配方程式として機能する。

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応力の平衡方程式は、弾性体の応力がつり合い状態にあるとき、それぞれの座標軸に対しての応力関係を表した式です。

有限要素法の式を導出する際に用いる場合があり、また弾性力学のなかでも重要な式の一つとして知られています。

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せん断応力の共役性

さて、この直六面体の重心を通るx3軸周りのモーメントのつり合いを考えてみましょう。

重心がモーメントのつり合い点なので、せん断応力をモーメントに直してつり合いを考えることになりますね。

せん断応力をモーメントに直してのつり合い

よって重心点での、モーメントのつり合いは次のように、

重心点での、モーメントのつり合い

整理すると、

であり同様のことは他のせん断応力についても成り立つので、

です。これをせん断応力の｢対称性｣または｢共役性｣と呼んでいます。

応力の平衡方程式

さて、下図に示すように3次元の物体を考えてみます。弾性体にはそれぞれの座標面に対して垂直応力及びせん断応力が作用しています。

また、物体には重力、遠心力等、質量に比例して｢物体力｣という力が働き、これをFとして表します。

3次元の物体

以上の図のように、赤丸を基準とします。

この点から座標面に対する応力を考えると、例えばこの位置でのx1軸に関する応力はそれぞれ、σ11、σ12、σ13とします。この位置から、dx1離れた位置での応力は以下のように示すことができます。

座標面に対する応力

と・・・教科書では説明がしてあると思います。しかし、皆さんは結構ここで躓くようなので、簡単に説明します。

まず、変化率は数学で習いましたね。おそらく数学で習ったものは２次元なので、偏微分を行う必要がなく下記の式で表したと思います。

しかし、変化率を考える場合、この問題では３次元を考えているのでσ11はxyzの変数を含んでいると考えれば、微分ではなく偏微分を行う必要があるのです。

また、これだけでは、dx1離れた距離での変化量を表しているわけではないので、その変化率と基準点から離れた距離dx1を掛けた以下の式を元の応力に足し合わせるわけです。

さて、以上のように、基準とする点での応力または基準から離れた位置での応力のつり合い式を、それぞれの座標軸に対して考えます。

つり合い状態にあれば、当然、これらの応力を足し合わせたものは0となるはずです。

x1方向の力のつり合いは

x1方向の力のつり合い

です。

x1方向の力のつり合い２

この式を整理すると、

x1方向の力のつり合いを整理

以上の関係をx2,x3軸のつり合いを考えて整理すると

応力の平衡方程式

となります。また、この式を応力の平衡方程式をまたはつり合い方程式と呼びます。

混同しやすい用語

平衡方程式 vs 運動方程式

平衡方程式は静的問題（加速度ゼロ）で成立するつり合い条件であり、∂σij/∂xj＋fi=0で表される。

運動方程式に対して平衡方程式は慣性項ρ・üiが加わった形（∂σij/∂xj＋fi=ρüi）であり、動的問題では平衡方程式ではなく運動方程式を用いる。

体積力 vs 表面力

体積力（物体力）は重力や慣性力のように物体全体に分布して作用する力で、平衡方程式中のfiとして登場する。

表面力に対して体積力は物体内部に分布するため、境界条件（表面でのトラクション）とは区別して扱う必要がある。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では弾性力学の平衡方程式そのものよりも、応力成分の意味や垂直応力・せん断応力の関係が問われることが多い。

平衡方程式・適合方程式・構成式の三本柱が弾性力学の支配方程式を構成することを意識して学ぶと、有限要素法の理論的背景が理解しやすくなる。

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