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モールの応力円とは？1分でわかる意味、導出、主応力の求め方は？

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モールの応力円とは、縦軸にせん断応力、横軸に垂直応力をとり、断面に生じる垂直応力とせん断応力の関係を表す円です。

モールの応力円を描くことで、簡単に断面の任意の角度に生じる垂直応力、せん断応力がわかります。

なお、モールの応力円の方程式は、２軸方向に生じる応力のつりあいから求めます。

今回はモールの応力円の意味、導出方法、主応力の求め方について説明します。

二軸応力のつりあい、主応力の求め方は下記が参考になります。

2軸方向に生じる応力の計算方法｜任意断面の応力と力のつりあい

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

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モールの応力円とは？

モールの応力円とは、縦軸にせん断応力、横軸に垂直応力をとり、断面に生じる垂直応力とせん断応力の関係を表す円です。下図にモールの応力円を示します。

上図のように、応力円を描ければ断面の任意の角度（2θ）における垂直応力、せん断応力が簡単にわかります（※なお、モールの応力円では、角度は2θが主値となる）。このように、モールの応力円を使えば

・視覚的に断面に生じる応力状態がわかる

という利点があります。

一方で、現在は計算プログラムおよび、その結果を表示する視覚化プログラムが優れており、建築構造の実務でモールの応力円をあえて使う機会は、そう多くありません（応力円を使わなくても任意断面の応力が簡単にわかる。

例えばFEMソフト等）。

さて、上図に示したモールの応力円を眺めると、モールの応力円には下記の特徴があることがわかります。

・応力円のｙ座標の中心はx軸（σ軸）と一致する、すなわち円の中心は（a,0）となる（aは任意の値）

・せん断応力τ＝0のとき、σは最大値（σ1）、最小値（σ3）をとる

・円の中心となる座標で、τは最大値（τmax）、最小値（τmin）をとる

・τmax、τminの値は、応力円の半径に相当する

・σ1とσ3の差は応力円の直径に相当する、すなわち、(σ1－σ3)/2はτの極値（最大値、最小値）となる

上記はモールの応力円に共通した特徴です。また、上記における垂直応力の最大値、最小値を併せて「主応力」といい、σ1を最大主応力、σ3を最小主応力、τmax、τminを主せん断応力といいます。

主応力とは｜コーシーの関係から主面・主軸と主応力を導出する

主せん断応力とは？求め方・公式とモールの応力円・主応力との関係（図解）

さて、平面（2次元）の断面に応力が生じる場合の、モールの応力円の方程式を下記に示します。σ、τは断面の任意の角度における応力、σx、σyはx軸、ｙ軸に生じる垂直応力、τxyはせん断応力です。

上式の導出方法は下記リンクあるいは後述を参考にしてください。

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

式①よりモールの応力円は

です。つまり、σx、σy、τxyの値が既知であれば、応力円を描けることがわかります。具体的にσx、σy、τxyが既知の場合における、モールの応力円の描き方の例を示しましょう。まず、下図のように縦軸にτ、横軸にσをとる直交座標を描きます。

次に、σ軸上にσx、σyの点および垂直線を描きます。

次に、(σ,τ)=(σx,τxy)、(σ,τ)=(σy,－τxy)となる点を定めて線を結び、この線が直径となる円を描けば、応力円の外形が描けます。

以上のように、σx、σy、τxyからモールの応力円が描け、あらゆる断面の垂直応力、せん断応力の関係が得られる点はとても便利です。

モールの応力円の導出は？

前述したモールの応力円の方程式（式①）の導出は、平面（２次元）に生じる応力のつりあいを理解すれば簡単です。２軸方向に応力が生じる物体における任意断面の垂直応力、せん断応力を下記に示します。

ここで円の方程式を思い出してください。円の方程式は

です。σとτの関係を円の方程式で表すことを目標に式を変形しましょう。式②の右辺を一部移項すると

です。次に式④の両辺を二乗、式③の両辺を二乗して足し算します。すると

なので

が得られます。さらに右辺を平方根の２乗の形に変形すると

です。上記のように、σとτの関係が円の方程式として得られました。これがモールの応力円の方程式です。二軸方向の応力のつりあいの詳細は下記が参考になります。

2軸方向に生じる応力の計算方法｜任意断面の応力と力のつりあい

主応力の求め方は？

主応力の求め方を下記に示します。主応力の求め方は前述したモールの応力円の方程式から簡単に算定できます。モールの応力円よりτ＝0のとき主応力σ1、σ3を得ます。つまり、式④にτ＝0を代入すれば下式が算定できます。

主応力の求め方の詳細は下記が参考になります。

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

モールの応力円を整理した表を示します。

項目	内容	備考
横軸（σ）	垂直応力（法線応力）	引張を正、圧縮を負
縦軸（τ）	せん断応力	下向きを正とする場合もある
主応力	円とσ軸の交点の値（σmax・σmin）	このとき τ=0

まとめ

今回はモールの応力円について説明しました。

モールの応力円とは、縦軸にせん断応力、横軸に垂直応力をとり、せん断応力と垂直応力の関係を表した円です。

モールの応力円を使うことで、視覚的に垂直応力、せん断応力の関係が明らかになります。

モールの応力円の方程式を理解する場合、下記も勉強しましょう。

2軸方向に生じる応力の計算方法｜任意断面の応力と力のつりあい

主応力の求め方は？2次元要素の主応力の導出方法、最大主応力、最小主応力の求め方は？

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プロフィール

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• 略歴▼
• 名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


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