先端荷重の片持ち梁の計算は？曲げモーメント・たわみの公式と計算例
この記事の要点
片持ち梁（カンチレバー）の設計では、先端荷重が作用したときの固定端モーメントとたわみを正確に押さえることが基本です。
公式を丸暗記するより、導出の流れを理解しておくと応用が利きます。
この記事では、先端荷重の片持ち梁の公式と計算例を解説します。
支点（固定端）での曲げモーメントが最大になり、先端（自由端）でのたわみが最大になる。
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先端荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメントの値はPL（負曲げ）で、Lは片持ち梁のスパン（支点間距離）です。
また、反力はP、先端荷重PのたわみはPL^3/3EIになります。
単純梁の曲げモーメントやたわみよりも計算が簡単ですね。
今回は、先端荷重の作用する片持ち梁の計算と公式、曲げモーメント、たわみについて説明します。
等分布荷重の作用する片持ち梁、片持ち梁の曲げモーメント、たわみの計算は下記が参考になります。
等分布荷重が作用する片持ち梁の計算｜曲げモーメント・せん断力・たわみの公式
片持ち梁の曲げモーメントを求める例題｜集中荷重・等分布荷重の解き方を解説
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先端荷重の作用する片持ち梁の計算は？曲げモーメント、たわみの公式
先端荷重Pの作用する片持ち梁を下図に示します。
先端荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメント、たわみの公式は下記の通りです。Ｐは先端荷重、Ｌは片持ち梁のスパン、Ｅはヤング係数、Ｉは断面二次モーメントです。
・先端荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメント ⇒ PL
・先端荷重の作用する片持ち梁のたわみ ⇒ PL^3/3EI
片持ち梁の意味、等分布荷重の作用する片持ち梁については下記が参考になります。
片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説
等分布荷重が作用する片持ち梁の計算｜曲げモーメント・せん断力・たわみの公式
先端荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメントの導出
先端荷重の作用する片持ち梁に作用する曲げモーメントは力のつりあい条件から求めます。荷重の作用点を基準として任意の点xにおけるモーメントのつりあいを考えます。
ΣM＝0のとき
Mx+Px=0
Mx=－Px
です。上式にx=Lを代入すればLの位置における曲げモーメントM＝－PLになります。－の符号が付くので「負曲げ」だと分かります。片持ち梁の曲げモーメント、たわみの公式の導出は下記をご覧ください。
片持ち梁の曲げモーメントを求める例題｜集中荷重・等分布荷重の解き方を解説
混同しやすい用語
先端荷重の片持ち梁の曲げモーメント（M＝PL）
先端（自由端）に集中荷重Pが作用するとき、固定端での曲げモーメントはPL（負曲げ）となる。
等分布荷重の場合（M＝wL2/2）と混同しやすいので、荷重の種類に応じた公式を整理して覚える。
先端荷重の片持ち梁のたわみ（δ＝PL3/3EI）
先端荷重が作用するとき、自由端でのたわみはPL3/3EIで求められる。
等分布荷重のたわみ（δ＝wL⁴/8EI）と混同しやすいが、分母の係数（3か8か）で区別できる。
先端荷重の作用する片持ち梁を整理した表を示します。
| 項目 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 曲げモーメント（固定端） | M＝PL（負曲げ） | P:先端荷重、L:スパン |
| たわみ（自由端） | δ＝PL3／3EI | E:ヤング係数、I:断面二次モーメント |
| 反力（固定端） | R＝P | 垂直反力はPと等しい |
まとめ
今回は、先端荷重の作用する片持ち梁の曲げモーメント、たわみについて説明しました。先端荷重Pが作用するとき片持ち梁の曲げモーメントはPL、たわみδはPL^3/3EIです。片持ち梁の詳細など下記も参考になります。
片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説
等分布荷重が作用する片持ち梁の計算｜曲げモーメント・せん断力・たわみの公式
集中荷重の片持ち梁：反力・曲げモーメント・せん断力・たわみの計算
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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- 2017年12月に当HPが書籍化。
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