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たわみ角の公式と覚え方、導出方法
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たわみ角の公式を下記に示します。なお、たわみ角は時計回りを正の値、反時計回りを負の値とします。
たわみ角の公式は、たわみ曲線の微分方程式を解くことで得られます。たわみ角を求める例題として、中央集中荷重の作用する梁のたわみ角を導出します。
たわみ曲線の微分方程式は下式の通りです。
中央集中荷重の作用する曲げモーメントは下記の通りです。
上記の区間について微分方程式を解きます。まず、0から L/2の区間について下式に曲げモーメントを代入すると
上式の両辺について1回積分すると
となります。上式がたわみ角を表す式です。上式のAを算定すれば、たわみ角の公式が求められます。さて、上式をさらに１回積分すると
です。
次にL/2から L区間について求めます。微分方程式に曲げモーメントを代入すると
L－x＝uと置き換えると
となるので上式の両辺を積分すると
また、同様の手順でさらに1回積分すると
を得ます。
積分定数（未知数）が４つあるので境界条件（支持条件）と連続条件（関数の連続性）を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、
x=0、y1=0（0からL/2の区間）
x=L、y2=0 （L/2からLの区間）
です。以上の条件より
です。連続条件は荷重より左側のたわみy1と荷重より右側のたわみy2に共通した条件です。いずれの場合も長さL/2とき、たわみ、たわみ角ともに同様の値です。
x=L/2、y1= y2より
x=L/2、θ1=θ2より
となります。以上よりA、Cを含む２式の連立方程式を解くと
です。前述に示したたわみ角の式にAを代入し、点Ａ（x=0）におけるたわみ角の公式は
です。
まとめ
今回はたわみ角の公式について説明しました。たわみ角の公式は、中央集中荷重の作用する両端支持梁でPL^2/16EI、先端に集中荷重の作用する片持ち梁でPL^2/2EIです。たわみ角、たわみの詳細は下記が参考になります。
たわみ角とは？1分でわかる意味、公式、単位、例題から学ぶ計算法
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