たわみ角の公式と導出方法・覚え方まとめ
この記事の要点
たわみ角の公式は荷重・支持条件によって異なり、中央集中荷重の単純梁ではPL2/16EI、先端集中荷重の片持ち梁ではPL2/2EIが代表的な値。
公式の分母に含まれるEI（曲げ剛性）が大きいほどたわみ角は小さくなり、梁の「回転しにくさ」を表すことを理解して覚えること。
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たわみ角の公式を下記に示します。なお、たわみ角は時計回りを正の値、反時計回りを負の値とします。
たわみ角の公式は、たわみ曲線の微分方程式を解くことで得られます。たわみ角を求める例題として、中央集中荷重の作用する梁のたわみ角を導出します。
たわみ曲線の微分方程式は下式の通りです。
中央集中荷重の作用する曲げモーメントは下記の通りです。
上記の区間について微分方程式を解きます。まず、0から L/2の区間について下式に曲げモーメントを代入すると
上式の両辺について1回積分すると
となります。上式がたわみ角を表す式です。上式のAを算定すれば、たわみ角の公式が求められます。さて、上式をさらに１回積分すると
です。
次にL/2から L区間について求めます。微分方程式に曲げモーメントを代入すると
L－x＝uと置き換えると
となるので上式の両辺を積分すると
また、同様の手順でさらに1回積分すると
を得ます。
積分定数（未知数）が４つあるので境界条件（支持条件）と連続条件（関数の連続性）を用いて解きます。まず、支点にはたわみは発生しないので境界条件は以下のように、
x=0、y1=0（0からL/2の区間）
x=L、y2=0 （L/2からLの区間）
です。以上の条件より
です。連続条件は荷重より左側のたわみy1と荷重より右側のたわみy2に共通した条件です。いずれの場合も長さL/2とき、たわみ、たわみ角ともに同様の値です。
x=L/2、y1= y2より
x=L/2、θ1=θ2より
となります。以上よりA、Cを含む２式の連立方程式を解くと
です。前述に示したたわみ角の式にAを代入し、点Ａ（x=0）におけるたわみ角の公式は
です。
混同しやすい用語
たわみ角の公式（両端支持梁）
中央集中荷重の場合θ＝PL2/16EI、等分布荷重の場合θ＝wL3/24EIで、最大値は支点端部で生じる。
片持ち梁の公式に対して分母の係数が異なり（係数が大きい→たわみ角が小さい）、支持条件の違いが公式の形に直接反映される。
たわみ角の公式（片持ち梁）
先端集中荷重の場合θ＝PL2/2EI、等分布荷重の場合θ＝wL3/6EIで、最大値は自由端で生じる。
両端支持梁に対して固定端の拘束がない分だけたわみ角が大きくなり、係数が小さいほど大きなたわみ角が生じる点が異なる。
たわみ角の公式を整理した表を示します。
| 梁の種類 | 荷重条件 | たわみ角の公式 |
|---|---|---|
| 両端支持梁 | 中央集中荷重P | θ＝PL2/16EI |
| 両端支持梁 | 等分布荷重w | θ＝wL3/24EI |
| 片持ち梁 | 先端集中荷重P | θ＝PL2/2EI |
まとめ
今回はたわみ角の公式について説明しました。たわみ角の公式は、中央集中荷重の作用する両端支持梁でPL^2/16EI、先端に集中荷重の作用する片持ち梁でPL^2/2EIです。
たわみ角、たわみの詳細は下記が参考になります。
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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