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対角行列とは?1分でわかる意味、積の計算、転置行列、対称行列との関係

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対角行列(たいかくぎょうれつ)とは、対角成分以外の成分が0の行列です。対角成分とは左上隅から右下隅までの成分です。なお対角行列の対角成分が全て1のものを「単位行列」といいます。対角行列のm行とn列を入れ替え、n行・m列とします。すると元の行列と全く同じになります。これを対称行列(たいしょうぎょうれつ)といいます。対角行列は必ず対称行列となる性質を持ちます。


今回は対角行列の意味、積の計算、転置行列、対称行列との関係について説明します。単位行列、対角成分の意味は下記が参考になります。

単位行列とは?1分でわかる意味、性質、積、逆行列と正則の関係

対角成分とは?1分でわかる意味、対角行列、対角成分の和、0の成分、1の成分との関係

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対角行列とは?

対角行列(たいかくぎょうれつ)とは、対角成分以外の成分が0の行列です。下図をみてください。これが対角行列です。


図 対角行列


対角成分とは、左隅上から右下隅に向かう成分のことです。対角成分の詳細は下記が参考になります。

対角成分とは?1分でわかる意味、対角行列、対角成分の和、0の成分、1の成分との関係

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対角行列と積の計算

対角行列と任意の正方行列の積を計算します。下記に示しました。


図 対角行列と任意の正方行列の積


上記のように対角行列の対角成分を、任意の行列の行の数にかけた行列となりました。


次に対角行列同士の積を計算します。


図 対角行列同士の計算


対角行列同士の積は、対角成分同士の掛け算となります。実際に計算をすると分かりますが、対角行列は「0の成分」がほとんどなので、0×a=0のように成分が無くなります。


行列の積の計算は下記もご覧ください。

行列の掛け算とは?3分でわかる計算、順番、例題と問題の解き方

対角行列、転置行列、対称行列との関係、違い

n行、m列の任意の行列の行と列の数を入れ替えてみます。m行、n列になりました。下記のように行列の行と列を入れかえた行列を「転置行列(てんちぎょうれつ)」といいます。


図 転置行列


元の行列をAとするとき、転置行列はtAで表します。当たり前ですが転置行列の行と列を、再度入れ替えると元の行列に戻ります。よって、


{_^t}\left({_^t}A\right)=A


です。


次に対角行列の行と列の数を入れ替えましょう。すると行と列を入れ替えても「元の行列のまま」となりました。このような行列を「対称行列」といいます。対角行列は必ず対称行列となる性質を持ちます。


図 対角行列と対称行列


よって対角行列をXとするとき


X=?tX


です。

まとめ

今回は対角行列について説明しました。意味が理解頂けたと思います。対角行列は対角成分以外の成分が0の行列です。対角行列同士の積は、対角成分の掛け算をすればよいです。また対角行列は行と列を入れ替えても元の行列になる性質を持ちます。対称行列、単位行列など下記も併せて勉強しましょう。

対称行列とは?1分でわかる意味、性質、積の計算、交代行列との関係

単位行列とは?1分でわかる意味、性質、積、逆行列と正則の関係

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