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対称行列とは？1分でわかる意味、性質、積の計算、交代行列との関係

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対称行列（たいしょうぎょうれつ）とは、任意の行列Aの行と列を入れ替えたとき（転置行列）、元の行列Aと等しくなるものです。なお対称行列となるために任意の行列Aは正方行列です。また任意の行列Aの転置行列が－Aと等しくなるものを「交代行列（こうたいぎょうれつ）」といいます。今回は対称行列の意味、性質、積の計算、交代行列との関係について説明します。正方行列、転置行列の詳細は下記が参考になります。

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対称行列とは？

対称行列（たいしょうぎょうれつ）とは、任意の行列Aのm行、n列を入れ替えたとき、元の行列Aと等しくなるものです。下記に対称行列の例を示します。


図　対称行列の例


なお行列のm行、n列を入れ替えるとn行、m列になります。このような行列を転置行列（てんちぎょうれつ）といいます。任意行列Aの転置行列（てんちぎょうれつ）はtAで表します。


対称行列を数式で表すと


{_^t}A=\ A


となるような行列です。転置行列の詳細は下記が参考になります。

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対称行列の性質

対称行列には下記の性質があります。


図　対称行列の性質


実際に確認しましょう。対角行列とは対角上の成分以外の成分が0です。下記の対角行列の行と列を入れ替えてください。


図　対称行列の性質2


入れ替えても全く同じ行列になりました。対角行列は対称行列になります。対角行列の詳細は下記をご覧ください。

対角行列とは？1分でわかる意味、積の計算、転置行列、対称行列との関係

対称行列の積の計算

対称行列Aに実数aを掛けるとき、


aA


も対称行列になります。また対称行列同士の積は、結果も対称行列です。


図　対角行列同士の計算

対称行列、交代行列との関係

対称行列と交代行列の違いを下記に示します。


対称行列　⇒　正方行列の行と列を入れ替えたとき、元の正方行列になるもの

交代行列　⇒　正方行列の行と列を入れ替えたとき、元の正方行列に－1倍したもの


また任意の正方行列Aがあるとき


A－?tA


は交代行列となります。交代行列の詳細は下記をご覧ください。

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まとめ

今回は対称行列について説明しました。意味が理解頂けたと思います。対称行列は行と列を入れ替えたとき、元の正方行列同じになるものです。対角行列は必ず対称行列になります。転置行列、対角行列など下記も勉強になります。

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