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単位行列とは？1分でわかる意味、性質、積、逆行列と正則の関係

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単位行列（たんいぎょうれつ）とは、行列の対角の成分が全て１、それ以外の成分が0のものです。対角の成分とは（1,1）(2,2)などのことです。左上隅から右下隅に向かう成分と考えてください。なお対角成分以外の成分が0の行列を対角行列といいます。今回は単位行列の意味、性質、積の計算、逆行列と正則の関係について説明します。行列の成分、対角行列の詳細は下記をご覧ください。

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単位行列とは？

単位行列（たんいぎょうれつ）とは、行列の対角成分が全て1、それ以外の成分が0のものです。下記が単位行列です。


図　単位行列


また対角成分（たいかくせいぶん）とは、行列の左上隅から右下隅に向かう成分のことです。なお対角成分を行列の位置で表すと(1,1) (2,2) (3,3)となります。


対角成分以外の成分が0となる行列を「対角行列」といいます。対角行列の詳細は下記をご覧ください。

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単位行列の積、性質

単位行列と任意の行列の積を計算しましょう。行列の積は下記が参考になります。

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単位行列と任意の行列を計算すると、下記のように「元の行列のまま」となります。


図　単位行列の積と性質


これは単位行列をE、任意の行列をAとするとき


\mathbit{EX}＝X、XE＝X


という意味です。単位行列の重要な性質の１つなので是非覚えてください。意味は違うのですが1×X=Xに近いですね。

単位行列の逆行列と正則の関係

n次の正方行列Aとn次の単位行列Eについて、下式を満たす正方行列Bを「逆行列（Aの逆行列）」といいます。


\mathbit{AB}＝E、BA＝E


さらに逆行列が存在するとき、Aの正方行列は「正則（せいそく）である」といいます。


正方行列の意味は下記をご覧ください。

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逆行列の解き方は色々ありますが、２次の正方行列程度であれば連立方程式を解くことで、逆行列を算定できます。逆行列、正則の詳細は下記が参考になります。

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まとめ

今回は単位行列について説明しました。意味が理解頂けたと思います。単位行列は対角成分が全て1、その他の成分が0の正方行列です。単位行列の性質を理解しましょう。対角行列、正方行列の詳細は下記が参考になります。

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