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単位行列とは?1分でわかる意味、性質、積、逆行列と正則の関係

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単位行列(たんいぎょうれつ)とは、行列の対角の成分が全て1、それ以外の成分が0のものです。対角の成分とは(1,1)(2,2)などのことです。左上隅から右下隅に向かう成分と考えてください。なお対角成分以外の成分が0の行列を対角行列といいます。今回は単位行列の意味、性質、積の計算、逆行列と正則の関係について説明します。行列の成分、対角行列の詳細は下記をご覧ください。

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ/建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書:「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学 改訂版/工学社」

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単位行列とは?

単位行列(たんいぎょうれつ)とは、行列の対角成分が全て1、それ以外の成分が0のものです。下記が単位行列です。


図 単位行列


また対角成分(たいかくせいぶん)とは、行列の左上隅から右下隅に向かう成分のことです。なお対角成分を行列の位置で表すと(1,1) (2,2) (3,3)となります。


対角成分以外の成分が0となる行列を「対角行列」といいます。対角行列の詳細は下記をご覧ください。

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単位行列の積、性質

単位行列と任意の行列の積を計算しましょう。行列の積は下記が参考になります。

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単位行列と任意の行列を計算すると、下記のように「元の行列のまま」となります。


図 単位行列の積と性質


これは単位行列をE、任意の行列をAとするとき


\mathbit{EX}=X、XE=X


という意味です。単位行列の重要な性質の1つなので是非覚えてください。意味は違うのですが1×X=Xに近いですね。

単位行列の逆行列と正則の関係

n次の正方行列Aとn次の単位行列Eについて、下式を満たす正方行列Bを「逆行列(Aの逆行列)」といいます。


\mathbit{AB}=E、BA=E


さらに逆行列が存在するとき、Aの正方行列は「正則(せいそく)である」といいます。


正方行列の意味は下記をご覧ください。

正方行列とは?1分でわかる意味、性質、積の計算(解き方)、単位行列との関係


逆行列の解き方は色々ありますが、2次の正方行列程度であれば連立方程式を解くことで、逆行列を算定できます。逆行列、正則の詳細は下記が参考になります。

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まとめ

今回は単位行列について説明しました。意味が理解頂けたと思います。単位行列は対角成分が全て1、その他の成分が0の正方行列です。単位行列の性質を理解しましょう。対角行列、正方行列の詳細は下記が参考になります。

行列の成分は?3分でわかる意味と定義、表し方、行と列の見分け方、分数との関係

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