断面二次モーメントと曲げモーメントの関係｜EIと曲率・たわみへの影響

この記事の要点

断面二次モーメントIは、曲げ剛性EI（ヤング率×I）を通じて曲げモーメント・たわみと関係します。

Iが大きいほど同じ曲げモーメントでも曲率が小さくなります。

「断面二次モーメントを大きくすると何が変わるか」を、曲率・たわみ・応力度への影響で整理し、H形鋼が梁に使われる理由を解説します。

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断面二次モーメントIと曲げモーメントMの関係を下記に示します。下式の通り、曲げモーメントMを断面二次モーメントIで割り算し、縁端距離y1(y2)を掛け算すると、曲げ応力度σが得られます。

断面二次モーメントと曲げモーメントの関係

断面二次モーメントと曲げモーメントの関係1

上式の関係より、断面二次モーメントIが大きいほど断面に生じる曲げ応力度σは小さくなります。これを単純に表現ですると「断面二次モーメントを大きくすると、曲げに強くなる」ということですが、何が、どう強いのか定量的に解説しましょう。

さて曲げモーメントに対して部材が問題ないかどうかは、許容応力度と部材に生じる曲げ応力度を比較して「許容応力度＞曲げ応力度」を確認します。

たとえば、ある部材の長期許容応力度が156N/mm2、断面に生じる曲げ応力度が150N/mm2とします。

この部材の曲げモーメントに対する余裕は約4％（≒1－150/156）ほどしかなく、少しの荷重増加が起きれば、曲げ応力度が許容応力度を超えてしまい安全性を損ないます。

そこで、部材の断面二次モーメントIを大きくするのです。

たとえば、Iを1割ほど大きくすれば、曲げ応力度は約136.3N/mm2（≒150/1.1）となり、部材の曲げモーメントに対する余裕は約13％（≒1－136/156）に増えます。

つまり、Iを大きくして曲げ応力度が小さくなることにより、部材断面の曲げモーメントに対する負担が減る（余裕が増える）のです。

さらに、断面二次モーメントを大きくすると「たわみ」が小さくなります。たわみの計算式は荷重条件、支持条件によって様々ですが、最も簡単なたわみの公式を下記に示します。

たわみの公式

上式より、分母に断面二次モーメントIがあるため、Iが大きくなるほど、たわみδは小さくなります。

断面二次モーメントを大きくすれば、部材断面の曲げモーメントに対する負担が減り、たわみも小さくなります。

これを一言でいってしまえば、Iを大きくすると「部材はかたくなり、曲げにくくなる」ということです。

断面二次モーメントと曲げモーメントの関係

では、どうすれば断面二次モーメントを大きくできるのでしょうか。長方形の断面二次モーメントの公式を下記に示します。bは長方形の幅、hは高さです。よって、Iを効率的に大きくしたければIはhの三乗に比例するので、断面の高さhを増やすべきです。

曲げ剛性と断面二次モーメントの関係2

混同しやすい用語

断面二次モーメント（I）

断面の曲げにくさを表す値。

Iが大きいほど曲げ応力度σ=M・y/Iは小さくなり、部材がかたくなる。

曲げモーメント（M）

部材に作用する曲げの大きさ。

荷重と支点条件から求める。

断面二次モーメントとは全く別の概念。

断面二次モーメントと曲げモーメントの関係を整理した表を示します。