断面二次モーメントによるたわみの計算、両端ピン支持梁、片持ち梁のたわみ計算ツール

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断面二次モーメントとは部材断面のかたさ（まげにくさ）を表す値で、断面の形状に応じて値が大きく変わります。よって、断面二次モーメントの大きい梁になるほど「梁はかたく」、梁のたわみは小さくなります。

梁のたわみの計算式は荷重条件、支持条件により変わるのですが、例として等分布荷重の作用する両端ピン支持梁のたわみを下式に示します。

wは等分布荷重、Lは部材長さ、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメントです。一般に、梁のたわみを求めるとき、梁に作用する荷重、部材長さ、ヤング係数は既知であることが多いため、あとは「たわみ量を適切な値に抑える（たわみは小さいほど良い）」ために必要な断面二次モーメントIを決定、すなわち、適切な断面形状を決めるのです。

上式のように、断面二次モーメントIは分母にあるため、断面二次モーメントIと梁のたわみδは"反比例"の関係です。断面二次モーメントが大きいほど、梁のたわみは小さくなります。また、ヤング係数Eも分母にありますね。Ｅは材料のかたさを表す固有の値です。やわらかい材料よりもかたい材料を用いた方が、梁のたわみは小さくなります。

つまり、たわみは断面二次モーメントＩとヤング係数Ｅの積に反比例し、ＩとＥの積である「EI」を曲げ剛性（曲げに対するかたさ）といいます。

曲げ剛性の基礎知識、1分でわかる意味と計算方法

逆に、たわみを大きくする要因は分子にある「荷重、梁の長さ」です。特に、梁の長さは、たわみの3乗または4乗に比例するため、荷重が小さくてもＬが大きい梁では断面二次モーメントＩを大きくする必要があるでしょう。

等分布荷重の作用する片持ち梁のたわみを計算するツールを下記に示します。断面二次モーメントI、等分布荷重w、梁の長さL、ヤング係数Eの値を入力すれば、たわみを算定するプログラムです。

等分布荷重 w (N/mm):

スパン L (mm):

ヤング係数 E (N/mm²):

断面二次モーメント I (mm⁴):

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記事を書いた人

ハナダユキヒロ／建築学生が学ぶ「構造力学」

難解な構造力学、建築構造の用語を分かりやすく解説する専門家。高等専門学校在学中から建築学生が学ぶ「構造力学」を運営。その後、国立大学大学院⇒組織設計事務所⇒弊サイト運営に従事している。

著書：「わかる構造力学/工学社」、「わかる構造力学改訂版/工学社」

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さて、断面二次モーメントは断面の形状で値が変わります。下図に代表的な断面形状の断面二次モーメントを示します。下式のように、仮に断面の高さや幅が一緒でも、断面形状が変わればIの値も変わります。

また、Iは「高さの3乗に比例」するため、Iを効率的に大きくするには「断面の幅を小さくして、断面の高さを大きく」すべきです。効率的に断面のIを高めることで「軽くてかたい断面」となりますし、部材数量が減るのでコストの面でも合理的です。この効率的な断面形状の１つが「H形断面」で、鉄骨造の大梁、小梁の断面として標準的に用いられています。

前述したように、たわみの計算式は荷重条件、支持条件により変わります。代表的なたわみの計算式を下図に示します。部材の両端をよりかたくする支持条件になるほど、たわみ量が大きくなる計算式となり、部材の両端の拘束条件がより緩いほど、たわみ量は小さい計算式となります。

・中央集中荷重　単純梁

中央集中荷重　単純梁