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塑性断面係数と全塑性モーメント

ロバートフックがバネ秤に重りをのせてバネの伸びと力の関係を知ったとき、まさかその先に物理現象があるとは思いもしなかったでしょう。鉄はよく伸びます。しかし引っ張れば引っ張るほど、伸びるわけでもありません。ある時にスーっと伸びやすくなり、一旦、また固くなります。そして、ようやくちぎれるのです。


鉄を引っ張れば伸びます。しかし、力を抜けば元の長さに戻ります。この性質を弾性と呼びます。一方、力を抜いたのに変形が戻らない現象を塑性と呼ぶのです。塑性現象は、力学的に危ういと思われがちですが、便利なこともあります。


今回は、塑性にライトを当てて塑性断面係数と全塑性モーメントについて説明しましょう。


断面係数や塑性について理解していない方は、下記の記事が参考になります。今回の記事もよりスムーズに読めるでしょう。

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全塑性モーメントとは?

思い出して欲しいのが部材に荷重が作用したときの応力図です。そう、式で示すなら


σ=M/Z


です。これを応力度の図で示すと?

こうなります。つまり、曲げ応力度は中立軸を境に圧縮と引張に分かれるんですね。このとき、上端と下端は応力度に達した状態と考えます。

この部材に、そのまま荷重を加えます。すると、既に降伏している上端と下端は応力度が増加しないことが分かると思います。つまり、上端と下端はMAXの応力度に達したのだから、これ以上応力度は増えようがありません。では、荷重を加え続けるとどうなるか?


他の部分が降伏してくるのです。これを応力度図で示すとこうなります。

最外端が塑性したので、次に近い部分から順に中立軸まで塑性を始めます。このとき、圧縮と引張の両者が中立軸まで塑性化したとき、部材は完全に『塑性した』ということになります。これを部材の全塑性といい、全塑性したときの部材モーメントを『全塑性モーメント』と言います。


つまり、全塑性モーメントは下式で表します。


Mp=σy×Zp


Zpが塑性断面係数と言います。σyは降伏強度ですね。では、塑性断面係数について説明します。

全塑性すると、部材断面は上図のようになりますね。思い出して欲しいのが断面係数の式です。


σ=M/Zでした。

 

つまり、Zを算出するには逆算すればいいわけです。赤矢印の値は、応力度を集中荷重に置き換えた値で計算しやすくします。P=a×b/2×σですね。圧縮、引張で違う向きに応力度は作用していますから、これは偶力です。


偶力は部材を回転させる曲げモーメントですね。つまり、偶力Mは、


M=P×b/4×2=Pb/2

P=a×b/2×σ

M=a×b/2×σ×b/4×2=ab^2/4×σ


となります。この式、どこかで見たことありましたね。そう、σ=M/Zにそっくりです。変形すれば、


M=σ×Z


ですから、結局Zは


Z= ab^2/4


になります。これが長方形断面の塑性断面係数です。


まとめ

今回は、塑性に関する重要な項目を紹介しました。全塑性モーメントと塑性断面係数は、構造計算には欠かせないものですし、構造力学の授業でも習いますよね。 考え方を一度理解すれば楽です。今回説明した内容を頭に入れておけば、どんな形状でも大体対応できると思いますよ。


今回算定した塑性断面係数と、断面係数の値を比較して、どのくらい値が大きいのか確認してみましょう。学びなおしの意味も含めて、再度下記の記事を参考にしてくださいね。

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