曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由、曲げモーメントからせん断力を求める方法

この記事の要点

曲げモーメントMをxで微分するとせん断力Q（dM/dx=Q）になる関係は、梁の微小部分のモーメントつり合いから導出されます。逆にせん断力を積分するとモーメントが求まり、M図・Q図の形状を理解する上で重要な関係式です。

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曲げモーメントの微分とせん断力Qxには下式の関係があります。下式より、曲げモーメントの式を微分すればせん断力Qの式が得られます。

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由1

曲げモーメントからせん断力を求める計算例を示します。微分を理解していれば簡単です。たとえばMxの式が「Mx=x^2+6x+2」のとき、せん断力を表す式Qxは

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由2

のように、Mxをxについて微分すればせん断力の式が得られます。上式より、xに支点からの任意の位置までの距離xを代入すれば、指定した位置でのせん断力が算定できます。

では、なぜ曲げモーメントを微分するとせん断力になるのでしょうか。これは梁の微小部分に生じる応力のつり合いから導けます。下図に示すように、梁に任意の分布荷重が作用して力がつりあっているとします。このとき梁の微小部分を抜き出して応力のつりあいを考えましょう。微小部分の長さをdxとします。

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由3

梁に作用する力はつりあっているのですから、微小部分においても力のつりあいは成立します。部材に生じる応力はせん断力、曲げモーメント、軸力の3つです。ただし、上図の梁には鉛直方向の荷重のみ作用するので軸力は0です。

以上より、梁の微小部分には下図のような応力および荷重が作用して力がつりあいます。

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由4

微小部分の右側では、分布荷重wxにより微小な応力が増加します。微小なせん断力、曲げモーメントをそれぞれdQx、dMx、左側のせん断力、曲げモーメントをQx、Mxとするとき

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由5

となります。鉛直方向の力のつりあいは

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由6

より

が得られます。上式より微小せん断力の大きさは、分布荷重と微小長さの積です。さらに両辺をdxで割ると

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由8

となり、上式はせん断力の1回微分したものが分布荷重になることを意味します。次に点Aにおけるモーメントのつりあいを考えます。

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由9

dx2、dQxdxは微小量の積のため無視できるくらい小さいと考えると

が求まります。上式より、微小曲げモーメントはせん断力と微小長さの積といえます。さらに両辺をdxで割ると

曲げモーメントを微分するとせん断力になる理由11

になります。上式は曲げモーメントの1回微分がせん断力になること、すなわち、曲げモーメントの変化の割合がせん断力といえます。

混同しやすい用語

「曲げモーメントの微分」と「せん断力」

荷重強度w、せん断力Q、曲げモーメントMの間にはdM/dx=Q（MをxでミニするとQ）の関係がある。

「積分」と「微分」（荷重-せん断-曲げの関係）

dQ/dx=?w（せん断力を微分すると荷重の負値）、dM/dx=Q（曲げモーメントを微分するとせん断力）の関係がある。これを使うと荷重→Q図→M図の順に計算できる。

試験での問われ方｜管理人の一言

曲げモーメントを微分するとせん断力になる（dM/dx=Q）という関係は、M図・Q図の形状が理解できる重要な関係です。この逆を使ってせん断力を積分するとモーメントが求まります。

曲げモーメントの微分とせん断力の関係を整理した表を示します。

項目	内容	備考
基本関係式	dM/dx＝Q（MをxでミニするとQ）	梁の微小部分のモーメントつり合いから導出
せん断力と荷重の関係	dQ/dx＝?w（せん断力を微分すると分布荷重の負値）	Qが一定ならば分布荷重なし
積分との関係	分布荷重を積分→せん断力、せん断力を積分→曲げモーメント	荷重→Q図→M図の順に算定できる