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曲げ応力度の公式は？単位、計算方法と例題、導出方法は？

この記事の要点

曲げ応力度σ＝M/Z（M：曲げモーメント、Z：断面係数）であり、単位はN/mm2（MPa）である。断面係数Zが大きいほど同じ曲げモーメントに対する応力度が小さくなるため、断面形状の選定が許容曲げ応力度との比較に直結します。

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曲げ応力度の公式曲げ応力度σの公式は「σ＝M／Zまたはσ＝My／I」です。Ｍは曲げモーメント、Ｚは断面係数、ｙは断面の中立軸から断面の上端または下端までの距離、Ｉは断面二次モーメントです。なお、曲げ応力度とは曲げモーメントによる部材断面に生じる軸方向応力度です。今回は、曲げ応力度の公式、単位、計算方法と例題、導出方法について説明します。曲げ応力の詳細は下記が参考になります。

曲げ応力とは？1分でわかる意味、公式と演習問題、単位、曲げ応力度との違い

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曲げ応力度の公式は？

曲げ応力度の公式を下記に示します。Ｍは曲げモーメント、Ｚは断面係数、yは断面の中立軸から断面の上端または下端までの距離、Ｉは断面二次モーメントです。

曲げ応力度の公式1

下図をみてください。曲げ応力度は、曲げモーメントによる部材断面に生じる軸方向応力度です。

曲げ応力度の公式2

曲げ応力の求め方、詳細は下記が参考になります。

曲げ応力とは？1分でわかる意味、公式と演習問題、単位、曲げ応力度との違い

曲げ応力度の単位は？

曲げ応力度の単位は「N/mm2」です。前述したように、曲げ応力度は曲げモーメントを断面係数で除した値です。曲げモーメントの単位はNmm、断面係数の単位はmm3なので「1Nmm÷1mm3＝1N/mm2」になります。その他、応力度の単位は下記をご覧ください。

応力度の単位は？1分でわかる単位と意味、読み方、応力の単位との違い

曲げ応力度の計算方法と例題は？

曲げ応力度の計算方法を、例題を通して学びましょう。下図に示す梁の曲げモーメントは25kNm、部材断面の断面係数は500cm3です。

曲げ応力度の計算方法

まずは曲げモーメントと断面係数の単位を整理します。25kNm=25000000Nmm、500cm3=500000mm3より

曲げ応力度σ＝M／Z＝25000000Nmm÷500000mm3＝50

曲げ応力度の導出方法は？

前述した曲げ応力度の公式を導出しましょう。導出する前に、まずは下記の仮定を考慮します。

1．梁の断面はx、y方向について伸びや縮み、せん断変形しない、すなわち梁の断面は一切変形しない（断面不変の仮定）。

2．梁の断面は荷重を受けて変形した後も平面を保つ（平面保持の仮定）。すなわち梁の中立軸に直交する断面は変形後も中立軸に直交する。

１、２の仮定により、梁の変形は材軸方向の伸びと縮み、回転のみで表すことができます。本仮定は「微小変形理論」におけるx軸方向（材軸方向）のひずみだけ考慮することを意味します。

なお、断面に生じるせん断力を考慮します。つまり断面は少なからずせん断力に応じてせん断変形します。これは明らかに矛盾しますが、梁のようにせん断変形が微小である部材では、せん断変形しないと仮定することで実用的な式を得ます。さて、下図に曲げモーメントを受けて変形する梁を考えます。

曲げ応力度の導出方法1

梁の一部を取り出して拡大すると、梁は下側で伸び上側は圧縮されます。このとき「平面保持の仮定」より図のAB断面、CD断面は変形後も平面かつ中立軸と直交すると考えます。

曲げ応力度の導出方法2

図に示すような微小部分の梁の長さ（A'-D間）をdxとします。さらに、長さdxや伸びは曲線ですが微小であるため直線とすれば、図のような変形図として示されます。中立軸から任意の点ｙにおける伸び量をΔdxとするとき、元の長さdxからΔdxの伸びが生じるときのひずみは

です。図形の相似の関係より曲率半径ρ、たわみy との関係は

曲げ応力度の導出方法4

になります。フックの法則より

曲げ応力度の導出方法5

となり、点yにおける微小断面dAには式9.20の応力度が生じています。中立軸における式の応力度によるモーメントの総和は、曲げモーメントMと等しいので

曲げ応力度の導出方法7

です。

曲げ応力度の導出方法8

となります。∫y2dAは断面二次モーメントなので

曲げ応力度の導出方法9

が得られます。以上を整理すると

曲げ応力度の導出方法10

となり、式が曲げ応力度を表す式です。さらに断面係数Z＝I/yより、σ＝M/Zが得られます。は中立軸からの距離を意味します。

曲げ応力度の公式2

図のように、σ1側は部材に引張応力度が生じるので正値、σ2側は圧縮応力度が作用するので負値で表します。また中立軸から最も遠い位置に生じるσ1、σ2を縁応力度といいます。それぞれ、以下の式で求めます。

曲げ応力度の導出方法11

混同しやすい用語

「曲げ応力度（σ=M/Z）」と「せん断応力度（τ=Q/A）」

曲げ応力度σはσ=M/Z（M：曲げモーメント、Z：断面係数）で求まる引張・圧縮応力度。

「断面係数（Z）」と「断面二次モーメント（I）」

断面係数Z=I/y（y：中立軸からの距離）で、断面の端部の応力度算定に使う。断面二次モーメントIはたわみ計算（剛性評価）に使う。

試験での問われ方｜管理人の一言

曲げ応力度の公式σ=M/Zはよく使う重要な式です。断面係数Zは断面の形状と寸法から求められ、Zが大きいほど同じモーメントでも応力度が小さくなります。H形鋼は断面係数が大きく、梁部材として効率的です。

曲げ応力度の公式を整理した表を示します。

項目	内容	備考
基本公式	σ＝M／Z	M：曲げモーメント、Z：断面係数
一般式	σ＝M・y／I	y：中立軸からの距離、I：断面二次モーメント
単位	N/mm2（MPa）	断面係数Z＝I/y の関係から導出