構造図解で一発理解建築用語サクッと理解構造力学が苦手おすすめ書籍おすすめPDF教材転職・キャリア

HOME > 構造力学の基礎 > 曲げ応力度の公式は？単位、計算方法と例題、導出方法は？

曲げ応力度の公式は？単位、計算方法と例題、導出方法は？

この記事の要点

曲げ応力度σ＝M/Z（M：曲げモーメント、Z：断面係数）であり、単位はN/mm2（MPa）である。

断面係数Zが大きいほど同じ曲げモーメントに対する応力度が小さくなるため、断面形状の選定が許容曲げ応力度との比較に直結します。

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

曲げ応力度の公式曲げ応力度σの公式は「σ＝M／Zまたはσ＝My／I」です。

タップできる目次

曲げ応力度の公式は？

Ｍは曲げモーメント、Ｚは断面係数、ｙは断面の中立軸から断面の上端または下端までの距離、Ｉは断面二次モーメントです。

なお、曲げ応力度とは曲げモーメントによる部材断面に生じる軸方向応力度です。

今回は、曲げ応力度の公式、単位、計算方法と例題、導出方法について説明します。

曲げ応力の詳細は下記が参考になります。

曲げ応力とは？1分でわかる意味、公式と演習問題、単位、曲げ応力度との違い

100円から読める！ネット不要！印刷しても読みやすいPDF記事はこちら⇒　いつでもどこでも読める！広告無し！建築学生が学ぶ構造力学のPDF版の学習記事

曲げ応力度の公式は？

曲げ応力度の公式を下記に示します。Ｍは曲げモーメント、Ｚは断面係数、yは断面の中立軸から断面の上端または下端までの距離、Ｉは断面二次モーメントです。

曲げ応力度の公式1

下図をみてください。曲げ応力度は、曲げモーメントによる部材断面に生じる軸方向応力度です。

曲げ応力度の公式2

曲げ応力の求め方、詳細は下記が参考になります。

曲げ応力とは？1分でわかる意味、公式と演習問題、単位、曲げ応力度との違い

曲げ応力度の単位は？

曲げ応力度の単位は「N/mm2」です。

前述したように、曲げ応力度は曲げモーメントを断面係数で除した値です。

曲げモーメントの単位はNmm、断面係数の単位はmm3なので「1Nmm÷1mm3＝1N/mm2」になります。

その他、応力度の単位は下記をご覧ください。

応力度の単位（N/mm²）・意味・読み方・応力との違い

曲げ応力度の計算方法と例題は？

曲げ応力度の計算方法を、例題を通して学びましょう。下図に示す梁の曲げモーメントは25kNm、部材断面の断面係数は500cm3です。

曲げ応力度の計算方法

まずは曲げモーメントと断面係数の単位を整理します。25kNm=25000000Nmm、500cm3=500000mm3より

曲げ応力度σ＝M／Z＝25000000Nmm÷500000mm3＝50

曲げ応力度の導出方法は？

前述した曲げ応力度の公式を導出しましょう。導出する前に、まずは下記の仮定を考慮します。

1．梁の断面はx、y方向について伸びや縮み、せん断変形しない、すなわち梁の断面は一切変形しない（断面不変の仮定）。

2．梁の断面は荷重を受けて変形した後も平面を保つ（平面保持の仮定）。

すなわち梁の中立軸に直交する断面は変形後も中立軸に直交する。

１、２の仮定により、梁の変形は材軸方向の伸びと縮み、回転のみで表すことができます。本仮定は「微小変形理論」におけるx軸方向（材軸方向）のひずみだけ考慮することを意味します。

なお、断面に生じるせん断力を考慮します。

つまり断面は少なからずせん断力に応じてせん断変形します。

これは明らかに矛盾しますが、梁のようにせん断変形が微小である部材では、せん断変形しないと仮定することで実用的な式を得ます。

さて、下図に曲げモーメントを受けて変形する梁を考えます。

曲げ応力度の導出方法1

梁の一部を取り出して拡大すると、梁は下側で伸び上側は圧縮されます。このとき「平面保持の仮定」より図のAB断面、CD断面は変形後も平面かつ中立軸と直交すると考えます。

曲げ応力度の導出方法2

図に示すような微小部分の梁の長さ（A'-D間）をdxとします。さらに、長さdxや伸びは曲線ですが微小であるため直線とすれば、図のような変形図として示されます。中立軸から任意の点ｙにおける伸び量をΔdxとするとき、元の長さdxからΔdxの伸びが生じるときのひずみは

です。図形の相似の関係より曲率半径ρ、たわみy との関係は

曲げ応力度の導出方法4

になります。フックの法則より

曲げ応力度の導出方法5

となり、点yにおける微小断面dAには式9.20の応力度が生じています。中立軸における式の応力度によるモーメントの総和は、曲げモーメントMと等しいので

曲げ応力度の導出方法7

です。

曲げ応力度の導出方法8

となります。∫y2dAは断面二次モーメントなので

曲げ応力度の導出方法9

が得られます。以上を整理すると

曲げ応力度の導出方法10

となり、式が曲げ応力度を表す式です。さらに断面係数Z＝I/yより、σ＝M/Zが得られます。は中立軸からの距離を意味します。

曲げ応力度の公式2

図のように、σ1側は部材に引張応力度が生じるので正値、σ2側は圧縮応力度が作用するので負値で表します。また中立軸から最も遠い位置に生じるσ1、σ2を縁応力度といいます。それぞれ、以下の式で求めます。

曲げ応力度の導出方法11

混同しやすい用語

「曲げ応力度（σ=M/Z）」と「せん断応力度（τ=Q/A）」

曲げ応力度σはσ=M/Z（M：曲げモーメント、Z：断面係数）で求まる引張・圧縮応力度。

「断面係数（Z）」と「断面二次モーメント（I）」

断面係数Z=I/y（y：中立軸からの距離）で、断面の端部の応力度算定に使う。

断面二次モーメントIはたわみ計算（剛性評価）に使う。

曲げ応力度の公式を整理した表を示します。

項目	内容	備考
基本公式	σ＝M／Z	M：曲げモーメント、Z：断面係数
一般式	σ＝M・y／I	y：中立軸からの距離、I：断面二次モーメント
単位	N/mm2（MPa）	断面係数Z＝I/y の関係から導出

まとめ

今回は、曲げ応力度σの公式は「σ＝M／Zまたはσ＝My／I」です。Ｍは曲げモーメント、Ｚは断面係数、ｙは断面の中立軸から断面の上端または下端までの距離、Ｉは断面二次モーメントです。曲げ応力、曲げモーメントの詳細は下記が参考になります。

曲げ応力とは？1分でわかる意味、公式と演習問題、単位、曲げ応力度との違い

曲げモーメントとは？わかりやすい意味・正負の考え方と計算方法（図解）

【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒　建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット

理解度チェック

曲げ応力度の公式と単位を答えてください。

答えを見る

σ＝M/Z（またはσ＝My/I）です。Mは曲げモーメント、Zは断面係数、yは中立軸から上端または下端までの距離、Iは断面二次モーメントです。単位は N/mm²（MPa）で、N・mm÷mm³＝N/mm² から導かれます。

曲げモーメント25kN・m・断面係数500cm³のときの曲げ応力度を計算してください。

答えを見る

単位を揃え、25kN・m＝25,000,000N・mm、500cm³＝500,000mm³ として、σ＝M/Z＝25,000,000/500,000＝50N/mm² です。

曲げ応力度の公式を導出する際の主な仮定を答えてください。

答えを見る

①断面不変の仮定（梁の断面はx・y方向に伸び・縮み・せん断変形せず一切変形しない）②平面保持の仮定（断面は変形後も平面を保ち中立軸に直交する）です。これらにより梁の変形を材軸方向の伸び縮みと回転のみで表せます。フックの法則と断面二次モーメント（∫y²dA）を用いて σ＝My/I、Z＝I/y より σ＝M/Z が得られます。