最大曲げ応力度とは？公式、断面二次モーメントとの関係、例題

この記事の要点

最大曲げ応力度とは部材断面に生じる最大曲げモーメントによる応力度であり、公式はσ＝M/Z（ZはMを断面係数で割った値）またはσ＝My/Iで求める。

断面係数Zまたは断面二次モーメントIが大きいほど最大曲げ応力度は小さくなるため、梁断面の設計では断面係数を大きくすることが基本となる。

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最大曲げ応力度とは、部材断面に生じる最大曲げモーメントによる応力度です。最大曲げ応力度の公式は「σ＝M/Z」です。Ｍは最大曲げモーメント、Ｚは部材の断面係数です。一般に、部材断面の設計では最大曲げ応力度が重要な値として用いられます。今回は、最大曲げ応力度の意味、公式、断面二次モーメントとの関係、例題について説明します。曲げ応力度、最大曲げ応力の詳細は下記が参考になります。

曲げ応力度とは？公式、曲げ応力と曲げモーメントの違い、許容曲げ応力度の求め方

曲げ応力度の公式は？単位、計算方法と例題、導出方法は？

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最大曲げ応力度とは？公式は？

最大曲げ応力度は部材断面に生じる、最大曲げモーメントによる応力度です。

最大曲げ応力度の公式を下記に示します。下式より、最大曲げ応力度は最大曲げモーメント（最大曲げ応力）を断面係数で除した値です。あるいは、最大曲げ応力を断面二次モーメントで除した値に、中立軸から上端または下端までの距離（y）を掛け算した値です。

上式より、最大曲げ応力度を求めるには、最大曲げモーメントの算定が必要です。最大曲げモーメントの求め方は下記をご覧ください。

最大曲げモーメントとは？1分でわかる意味、求め方と例題、集中荷重、片持ち梁、両端固定梁の計算

なお、曲げ応力度とは、単位断面積当たりに生じる「曲げモーメントによる軸方向応力度」です。下図をみてください。部材に曲げ応力（曲げモーメント）が作用すると、部材断面は湾曲し、部材の上端、下端では引張または圧縮の力が作用します。よって言い換えれば、最大曲げ応力度とは、最大曲げ応力により部材断面に生じる「最大または最小の軸方向応力度」です。

曲げ応力度、最大曲げ応力の詳細は下記が参考になります。

曲げ応力度とは？公式、曲げ応力と曲げモーメントの違い、許容曲げ応力度の求め方

曲げ応力度の公式は？単位、計算方法と例題、導出方法は？

最大曲げ応力度と断面二次モーメントとの関係は？

下式より最大曲げ応力度は断面二次モーメントに反比例します。よって、最大曲げモーメントが等しくても、部材断面の断面二次モーメントが大きくなると最大曲げ応力度は小さくなります。

断面二次モーメントの詳細は下記をご覧ください。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

最大曲げ応力度を求める例題は？

下図に示す梁に生じる最大曲げ応力度を求めましょう。P＝10kN、L＝6m、部材の断面係数は1000cm3です。

最大曲げ応力度を求める例題

まずは最大曲げモーメントを算定します。梁には集中荷重が作用しており、M＝PL/4より

・最大曲げモーメント　⇒　M＝PL/4＝10×6/4＝15kNm=15000000Nmm

です。前述より、最大曲げ応力度はM／Zです。断面係数の値をmm3の単位に変換すると1000cm3=1000000mm3なので

・最大曲げ応力度　⇒　σ＝M／Z＝15000000÷1000000mm３＝15N/mm2

です。

混同しやすい用語

曲げ応力度 σ＝My/I

部材断面の任意の位置yにおける曲げモーメントによる軸方向応力度。部材上下端で最大値・最小値となる。

最大曲げ応力度（σmax＝M/Z）に対して、曲げ応力度は断面内の分布を表す値であり、中立軸（y＝0）では0になる点が異なる。

断面係数 Z

断面二次モーメントIを中立軸からの最遠端距離yで除した値（Z＝I/y）。最大曲げ応力度を直接求めるのに用いる。

断面二次モーメントIに対して、断面係数Zは「外端まで含めた曲げ抵抗力の尺度」であり、σ＝M/Zで最大曲げ応力度が直接求まる。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では「断面係数Z＝1000cm3の部材に曲げモーメントM＝15kNmが作用するときの最大曲げ応力度を求めよ」の形で計算問題として出題されることが多い。

σ＝M/Zの式を覚えたうえで、Mの単位（kNm→Nmm）とZの単位（cm3→mm3）を揃える換算を習慣にすると、計算ミスを防げる。

最大曲げ応力度に関する公式と関連値を整理した表を示します。

項目	内容	備考
最大曲げ応力度の公式	σ＝M/Z	Mは最大曲げモーメント、Zは断面係数
断面係数の公式	Z＝I/y	Iは断面二次モーメント、yは中立軸から最遠端距離
長方形断面の断面係数	Z＝bh2/6	bは幅、hは高さ

まとめ

今回は、最大曲げ応力度について説明しました。最大曲げ応力度とは、部材断面に生じる最大曲げモーメントによる応力度です。曲げ応力度は部材断面に生じる、曲げモーメントによる軸方向応力度なので、最大曲げ応力度は、最大曲げモーメントによる軸方向応力度の最大または最小値です。曲げ応力度、最大曲げ応力の詳細は下記が参考になります。

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