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主応力について

コーシ―の関係から法線nの面に作用する応力ベクトルを考えます。ここで、法線nをもつ面を「主面」、その法線を「主軸」といいます。応力テンソルは法線nに依存するということは前に説明しましたね。以上のように、主面に作用する垂直応力のことを「主応力」と呼びます。主応力は解析結果としてよく用いられます。ここでは、主応力の関係を導出してみましょう。

主軸方向の単位ベクトルをnとし、対応する主応力をσとします。さて、このとき周面に作用する応力ベクトルは、コーシーの関係で勉強したように次式で表します。
コーシーの関係
です。ここで、ijのテンソル記号が無いのは主面に関する垂直応力に関して考えているからです。以上の式と、任意の面に関する応力テンソルを表す「コーシ―の関係」は、等置関係なので次式で示します。
等置関係
σにクロネッカーのδを掛ければ、2つの式は等しくなり、以上のように示すことができますね。

さて、以上の式でnj=0となれば意味の無い式となるので、この場合は考えません。よって
nj=0となれば意味の無い式
これを展開します。よって、
コーシーの関係
ですね。このままだと式が複雑なだけなので、係数を以下のように定義します。
係数
よって、
σ1, σ2, σ3
です。計算過程は単純ですが、たくさんの項が現れてややこしいので注意しましょう。また、必ず自分で展開するようにしてください。

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さて、以上の式で解をσ1, σ2, σ3とすれば、
解と係数の関係
ですから、解と係数の関係を考えると・・・
応力の不変量
となります。以上のように、主応力σ1, σ2, σ3は任意の点における応力状態を表しています。

また、座標関係の式が含まれていません、このことから主応力は方向に依存しません。 このような応力を「応力の不変量」とよんでいます。 解析では主応力による評価を良く行います。

例えば、多方向から力が作用している場合、一体、 どの力が影響して破壊したのか判断できないからです。そのような場合、座標に依存しない基準が あれば便利なので、主応力が用いられます。

また、応力の不変量は主応力だけでなく、ミーゼスの応力等も有名な概念です。

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