主応力とは｜コーシーの関係から主面・主軸と主応力を導出する

この記事の要点

主応力は、ある点の応力状態においてせん断応力がゼロになる方向（主面）に作用する垂直応力のことです。

コーシーの関係からどの面に作用する応力ベクトルも法線方向成分（垂直応力）とその直交成分（せん断応力）に分解できます。

有限要素解析では主応力の分布を確認して応力集中部位を特定するのが一般的な手順です。

最大主応力と最小主応力の符号（引張・圧縮）と大きさを把握することで、破壊が生じやすい位置と方向を推測できます。

主応力σ1、σ2、σ3は応力の不変量であり、ミーゼスの相当応力など材料強度評価の基準としても広く用いられる重要な概念だ。

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コーシ―の関係から法線nの面に作用する応力ベクトルを考えます。

ここで、法線nをもつ面を｢主面｣、その法線を｢主軸｣といいます。応力テンソルは法線nに依存するということは前に説明しましたね。

以上のように、主面に作用する垂直応力のことを｢主応力｣と呼びます。主応力は解析結果としてよく用いられます。ここでは、主応力の関係を導出してみましょう。

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主軸方向の単位ベクトルをnとし、対応する主応力をσとします。さて、このとき周面に作用する応力ベクトルは、コーシーの関係で勉強したように次式で表します。

です。ここで、ijのテンソル記号が無いのは主面に関する垂直応力に関して考えているからです。

以上の式と、任意の面に関する応力テンソルを表す｢コーシ―の関係｣は、等置関係なので次式で示します。

σにクロネッカーのδを掛ければ、２つの式は等しくなり、以上のように示すことができますね。

さて、以上の式でnj=0となれば意味の無い式となるので、この場合は考えません。よって

これを展開します。よって、

コーシーの関係

ですね。このままだと式が複雑なだけなので、係数を以下のように定義します。

よって、

です。計算過程は単純ですが、たくさんの項が現れてややこしいので注意しましょう。また、必ず自分で展開するようにしてください。

さて、以上の式で解をσ1, σ2, σ3とすれば、

ですから、解と係数の関係を考えると・・・

応力の不変量

となります。以上のように、主応力σ1, σ2, σ3は任意の点における応力状態を表しています。

また、座標関係の式が含まれていません、このことから主応力は方向に依存しません。このような応力を｢応力の不変量｣とよんでいます。解析では主応力による評価を良く行います。

例えば、多方向から力が作用している場合、一体、どの力が影響して破壊したのか判断できないからです。そのような場合、座標に依存しない基準があれば便利なので、主応力が用いられます。

また、応力の不変量は主応力だけでなく、ミーゼスの応力等も有名な概念です。

混同しやすい用語

主応力 vs 最大せん断応力

主応力はせん断応力がゼロとなる面（主応力面）に作用する垂直応力のことで、応力テンソルの固有値として求められる。

最大せん断応力に対して主応力は主応力面から45°傾いた面に生じる値であり、τmax=（σ1-σ3）/2の式で求められる。

応力の不変量 vs 座標依存応力

応力の不変量は座標系の取り方によらず値が変わらない量であり、主応力やミーゼス相当応力などがその代表例である。

座標依存応力に対して不変量は材料の強度評価（降伏判定など）に直接使える利便性があり、解析結果の評価指標として重要である。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では主応力と最大せん断応力の値・方向が頻出であり、特に2次元問題でモールの応力円を使った計算を求められることが多い。

主応力が「座標によらない不変量」であることを理解しておくと、問題の座標設定に惑わされずに解答できるようになる。

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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。

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この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

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