三角形の断面二次モーメントは？導出方法は？

この記事の要点

三角形の断面二次モーメントの公式はbh³/36（図心軸まわり）であり、長方形の断面二次モーメントbh³/12の1/3になる。

同じ幅・高さでも三角形は長方形の1/3の剛性しかなく、材料の配置が断面性能に大きく影響することを示す典型例である。

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三角形の断面二次モーメントはbh^3/36です。四角形の断面二次モーメントがbh^3/12なので、三角形の断面二次モーメントは四角形の断面二次モーメントの1/3の値だと分かります。よって、幅、高さが同じでも三角形の方が四角形より1/3も柔らかいことを意味します。今回は、三角形の断面二次モーメント、導出方法について説明します。断面二次モーメントの詳細は下記が参考になります。

断面二次モーメントとは？1分でわかる意味、計算式、h形鋼、公式、たわみとの関係

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三角形の断面二次モーメントは？

三角形の断面二次モーメントは下記の通りです。四角形断面の断面二次モーメントはbh^3/12なので、三角形の断面二次モーメントは四角形の1/3小さい値（幅、高さが同じでも1/3柔らかい）ことが分かります。

三角形の断面二次モーメント

断面二次モーメントの詳細は下記が参考になります。

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三角形の断面二次モーメントの導出方法は？

三角形の断面二次モーメントを導出します。下図に示す三角形について、底辺からある高さyにおける微小断面の高さをdy、幅をxとします。また、三角形の高さはh、幅はbです。

三角形の断面二次モーメント

上図より、相似の関係から幅xは

x:b＝(h－y):h

x＝b(h－y)/h

です。よって、三角形の微小断面積dAは

dA=dy×x＝dy (h－y) b/h

です。あとは断面二次モーメントの定義式

三角形の断面二次モーメントの導出方法1

に代入して

三角形の断面二次モーメントの導出方法2

の積分を解けば三角形の断面二次モーメントが導出できます。

三角形の断面二次モーメントの導出方法3

上式について、三角形の重心位置での断面二次モーメントに変換します。なお、xy軸から断面の図心に軸を平行移動したときのx軸、y軸まわりの断面二次モーメント（図心まわりの断面二次モーメント）は

三角形の断面二次モーメントの導出方法4

より算定できます。ここでIxは前述よりbh^3/12であり、三角形の重心位置はyo=h/3、三角形の断面積はbh/2です。よって、図心軸における三角形の断面二次モーメントは

より

三角形の断面二次モーメントの導出方法6

が得られます。

混同しやすい用語

三角形の断面二次モーメント（図心軸）：bh³/36

底辺b・高さhの三角形断面を図心軸まわりで計算した断面二次モーメントの公式。積分による導出から得られる。

長方形の断面二次モーメントbh³/12に対して、三角形は同じ幅・高さでも1/3の値になり、曲げ剛性が低くなる。

長方形の断面二次モーメント（図心軸）：bh³/12

底辺b・高さhの長方形断面の断面二次モーメント。同サイズの三角形の3倍の剛性を持つ。

三角形のbh³/36と比較することで、断面形状が曲げ剛性EIに与える影響の大きさを理解できる。

試験での問われ方｜管理人の一言

試験では「三角形の断面二次モーメントbh³/36」の公式や、長方形との比較（1/3の関係）が問われることがあります。

積分による導出の流れを一度追っておくと、公式を忘れても自分で再現できる力がつきます。

三角形の断面二次モーメントを整理した表を示します。

項目	内容	備考
三角形（図心軸まわり）	I＝bh³/36	底辺b・高さhの三角形断面
長方形（図心軸まわり）	I＝bh³/12	三角形の3倍の剛性
底辺軸まわりの三角形	I＝bh³/12	平行軸の定理で図心軸値に変換可能