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せん断応力度の求め方は？導出方法、平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い、関係は？

この記事の要点

せん断応力度の求め方は「形状係数k×(せん断力Q÷断面積A)」で、矩形断面ではk=1.5として最大値を算定します。

平均せん断応力度（Q/A）と最大せん断応力度は異なり、断面形状によって差が生じます。

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せん断応力度の求め方は「形状係数k×(せん断力Q÷断面積A)」です。

なお、断面に一様なせん断応力度が生じると仮定する場合、せん断応力度の求め方は「せん断力Q÷断面積A」です。

ただし、実際には断面に一様にせん断応力度が生じることは無く、一般に、断面の中央付近で最大値、端でゼロ（0）です。

今回は、せん断応力度の求め方、導出方法、平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い、関係について説明します。

せん断応力度の詳細は下記も参考になります。

せん断応力度（τ）とは？公式・求め方と最大せん断応力度の計算式（構造力学）

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せん断応力度の求め方は？

せん断応力度「形状係数k×(せん断力Q÷断面積A)」です。また、断面に一様なせん断応力度が生じると仮定する場合、せん断応力度の求め方は「せん断力Q÷断面積A」です。

せん断応力度の求め方1

ただし、実際には、せん断応力度は断面に一様に分布しません。たとえば、長方形に生じるせん断応力度は下図のように放物線を描いて分布します。

せん断応力度の求め方2

せん断応力度の最大値（最大せん断応力度）は断面の図心位置で生じ、断面の最外縁ではゼロ（0）となります。せん断応力度の分布が断面に一様と考えるとき、せん断応力度は

せん断応力の公式、最大せん断応力の公式2

で算定され、τmを平均せん断応力度といいます。下図のように最大せん断応力度と平均せん断応力度には差異がありますね。最大せん断応力度と平均せん断応力度の比率を「k」として下記の係数が得られます。

せん断応力度の求め方4

せん断応力の公式、最大せん断応力の公式3

係数kは断面形状によって異なる値であり、たとえば長方形ではｋ＝3/2、つまり、最大せん断応力度は平均せん断応力度の1.5倍大きいことがわかります。下図に代表的な断面における、せん断応力度の求め方を示します。

せん断応力の公式、最大せん断応力の公式1

せん断応力度の詳細は下記も参考になります。

せん断応力度（τ）とは？公式・求め方と最大せん断応力度の計算式（構造力学）

せん断応力の公式τ=VQ/Ibとは？最大せん断応力・丸棒の計算式と記号の意味（図解）

せん断応力度の導出方法は？

梁に荷重が作用するとき、曲げモーメントとせん断応力が生じます。せん断応力により梁は下図に示す変形を起こすと考えます。

せん断応力度の導出方法1

上図より、梁には鉛直方向、水平方向にせん断応力が生じています。

梁の微小要素を取り出して力のつりあいを考えます。

このとき断面の左側では曲げモーメントMxによる応力度σM、右側ではMx+dMxによる応力度σM+ΔσMが生じます。

このままでは応力度ΔσM分つりあわないため、せん断応力度τを考慮します。

せん断応力度の導出方法2

曲げ応力度σM、σM+ΔσMについてy0~y1の範囲で積分、さらにせん断応力度τに微小長さdxと幅bを掛けて集中力に変換します。以上より

せん断応力度の導出方法3

です。力のつりあいを考えると、

せん断応力度の導出方法4

せん断応力度τについて解くと

せん断応力度の導出方法5

ここで断面一次モーメントは

せん断応力度の導出方法6

であり、せん断力と曲げモーメントの関係より

です。よって

せん断応力度の導出方法8

が得られます。上式より梁のせん断応力度を求めます。

さて実際に、下図に示す四角形断面の最大せん断応力（四角形の中央部のせん断応力）を計算します。

四角形断面の最大せん断応力

でした。断面一次モーメントＳと断面二次モーメントＩを求めれば分かりそうです。

I＝bh^3／12

S＝h／2×b×h／4＝bh^2／8

四角形の中央位置（h／2位置）での断面一次モーメントを求めています。断面一次モーメントは、「断面積×断面図心までの距離」でしたね。

よって、最大せん断応力は

τ＝Q×(bh^2)／8／(b×bh^3／12)

　＝3／2×(Q／bh)＝3／2×Q／A

ですね。平均せん断応力の式が、Q／Aでした。よって、1.5倍も値が違います。単に、Q／Aと考えないよう注意してください。下記も参考になります。

平均せん断応力度とは？求め方と最大せん断応力度との比（長方形1.5倍）の関係

最大せん断応力度とは？3分でわかる意味、公式と求め方、単位、平均せん断応力度との違い

平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い、関係は？

平均せん断応力度と最大せん断応力度との違いと関係を下記に示します。

平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い

上式より、最大せん断応力度は、平均せん断応力度に形状係数kを掛け算した値ですね。なお、Qはせん断力、Aは断面積です。平均せん断応力度の意味は下記が参考になります。

平均せん断応力度とは？求め方と最大せん断応力度との比（長方形1.5倍）の関係

混同しやすい用語

平均せん断応力度（τm）

せん断力Qを断面積Aで除した値（τm=Q/A）。

断面全体に一様に分布すると仮定した概算的な値。

最大せん断応力度に対して、実際の分布を無視した簡便計算値であり、設計では形状係数を乗じて補正する。

最大せん断応力度（τmax）

断面内で最も大きなせん断応力度の値。

矩形断面ではτmax=1.5×Q/Aで算定される。

平均せん断応力度に対して、形状係数k（矩形は1.5、円形は4/3）を乗じた実際の最大値を表す。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では矩形断面の最大せん断応力度が平均の1.5倍である関係と、形状係数の概念が問われます。

「矩形はk=1.5、円形はk=4/3」の形状係数を覚えておくと計算問題を素早く解けます。

せん断応力度の求め方を整理した表を示します。

項目	内容	備考
平均せん断応力度	τm＝Q/A（せん断力÷断面積）	断面一様分布を仮定した概算値
最大せん断応力度（矩形）	τmax＝3/2×Q/A（形状係数k=1.5）	断面中央（図心）で生じる最大値
形状係数k	矩形：k=1.5、円形：k=4/3	断面形状によって異なる係数