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せん断応力度の求め方は？導出方法、平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い、関係は？

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せん断応力度の求め方は「形状係数k×(せん断力Q÷断面積A)」です。なお、断面に一様なせん断応力度が生じると仮定する場合、せん断応力度の求め方は「せん断力Q÷断面積A」です。ただし、実際には断面に一様にせん断応力度が生じることは無く、一般に、断面の中央付近で最大値、端でゼロ（0）です。今回は、せん断応力度の求め方、導出方法、平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い、関係について説明します。せん断応力度の詳細は下記も参考になります。

せん断応力度とは？τの公式と求め方、最大せん断応力度の式

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せん断応力度の求め方は？

せん断応力度「形状係数k×(せん断力Q÷断面積A)」です。また、断面に一様なせん断応力度が生じると仮定する場合、せん断応力度の求め方は「せん断力Q÷断面積A」です。

ただし、実際には、せん断応力度は断面に一様に分布しません。たとえば、長方形に生じるせん断応力度は下図のように放物線を描いて分布します。

せん断応力度の最大値（最大せん断応力度）は断面の図心位置で生じ、断面の最外縁ではゼロ（0）となります。せん断応力度の分布が断面に一様と考えるとき、せん断応力度は

で算定され、τmを平均せん断応力度といいます。下図のように最大せん断応力度と平均せん断応力度には差異がありますね。最大せん断応力度と平均せん断応力度の比率を「k」として下記の係数が得られます。

係数kは断面形状によって異なる値であり、たとえば長方形ではｋ＝3/2、つまり、最大せん断応力度は平均せん断応力度の1.5倍大きいことがわかります。下図に代表的な断面における、せん断応力度の求め方を示します。

せん断応力度の詳細は下記も参考になります。

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せん断応力度の導出方法は？

梁に荷重が作用するとき、曲げモーメントとせん断応力が生じます。せん断応力により梁は下図に示す変形を起こすと考えます。

上図より、梁には鉛直方向、水平方向にせん断応力が生じています。梁の微小要素を取り出して力のつりあいを考えます。このとき断面の左側では曲げモーメントMxによる応力度σM、右側ではMx+dMxによる応力度σM+ΔσMが生じます。このままでは応力度ΔσM分つりあわないため、せん断応力度τを考慮します。

曲げ応力度σM、σM+ΔσMについてy0~y1の範囲で積分、さらにせん断応力度τに微小長さdxと幅bを掛けて集中力に変換します。以上より

です。力のつりあいを考えると、

せん断応力度τについて解くと

ここで断面一次モーメントは

であり、せん断力と曲げモーメントの関係より

です。よって

が得られます。上式より梁のせん断応力度を求めます。

さて実際に、下図に示す四角形断面の最大せん断応力（四角形の中央部のせん断応力）を計算します。

でした。断面一次モーメントＳと断面二次モーメントＩを求めれば分かりそうです。

I＝bh^3／12

S＝h／2×b×h／4＝bh^2／8

四角形の中央位置（h／2位置）での断面一次モーメントを求めています。断面一次モーメントは、「断面積×断面図心までの距離」でしたね。

よって、最大せん断応力は

τ＝Q×(bh^2)／8／(b×bh^3／12)

　＝3／2×(Q／bh)＝3／2×Q／A

ですね。平均せん断応力の式が、Q／Aでした。よって、1.5倍も値が違います。単に、Q／Aと考えないよう注意してください。下記も参考になります。

平均せん断応力度とは？1分でわかる意味、求め方、最大せん断応力度との違い

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平均せん断応力度と最大せん断応力度との違い、関係は？

平均せん断応力度と最大せん断応力度との違いと関係を下記に示します。

上式より、最大せん断応力度は、平均せん断応力度に形状係数kを掛け算した値ですね。なお、Qはせん断力、Aは断面積です。平均せん断応力度の意味は下記が参考になります。

平均せん断応力度とは？1分でわかる意味、求め方、最大せん断応力度との違い

まとめ

今回は、せん断応力度の求め方について説明しました。せん断応力度の求め方は「形状係数k×(せん断力Q÷断面積A)」です。なお、せん断力Q÷断面積Aで求められるせん断応力度を「平均せん断応力度」といいます。せん断応力度、平均せん断応力度の詳細は下記もご覧ください。

せん断応力度とは？τの公式と求め方、最大せん断応力度の式

平均せん断応力度とは？1分でわかる意味、求め方、最大せん断応力度との違い

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• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


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