単純梁にモーメント荷重が作用する場合の解き方｜反力・せん断力・曲げモーメントの求め方

この記事の要点

単純梁にモーメント荷重Mが作用する場合、支点反力はRA = M/L（右支点）、RB = -M/L（左支点）で求めます。

集中荷重・等分布荷重と異なり、せん断力図が一定（矩形）になる特徴があります。

曲げモーメント図・たわみの求め方と、端部モーメントが作用する場合の計算例を解説します。

集中荷重や等分布荷重とは計算の流れが異なり、鉛直力のつり合いとモーメントのつり合いを別々に立てる必要がある。

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単純梁にモーメント荷重Mが作用する場合、支点反力＝M/L、曲げモーメント＝aM/L、bM/Lで計算できます。

求め方自体は簡単ですが、意外と忘れやすい問題です。今回は単純梁にモーメント荷重が作用する場合の解き方、たわみ、曲げモーメント、反力の求め方について説明します。

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単純梁にモーメント荷重が作用する場合の求め方は？

下図をみてください。単純梁にモーメント荷重が作用しています。集中荷重、等分布荷重が作用する梁とは異なる計算が必要です。

図　モーメント荷重が作用する単純梁

モーメント荷重が作用する単純梁の

反力

曲げモーメント

たわみ

の求め方について説明します。モーメント荷重の詳細は、下記が参考になります。

モーメント荷重とは？片持ち梁のモーメント図と計算方法を解説

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反力の求め方

まず反力を求めます。反力はそれぞれRa、Rbと仮定します。鉛直荷重は作用してないので、

Ra+Rb=0

です。力のモーメントのつり合いより反力を求めましょう。ピン支点にはモーメントは生じません。A点を起点にモーメントのつり合いを考えます。

単純梁　モーメント荷重　数式1

です。よってモーメント荷重の作用する単純梁は、下図のような反力が生じています。

図　モーメント荷重が作用する単純梁の反力

曲げモーメントの求め方

次に曲げモーメントを求めます。前述したように反力が算定できたので簡単です。

モーメント荷重の作用位置で、梁を切断します。曲げモーメントをMaとし、切断位置を起点につり合いを考えると、

単純梁　モーメント荷重　数式2

です。同様にｂ点から曲げモーメントを求めると、

単純梁　モーメント荷重　数式3

です。上記を曲げモーメント図に表します。下図に示しました。

図　モーメント荷重が作用する単純梁の曲げモーメント

たわみの求め方

実は、モーメント荷重が作用する単純梁のたわみは、難しい計算式です。公式を下記に示します。

単純梁　モーメント荷重　数式4

たわみの公式の導出方法は、他の荷重条件と同じなので余裕がある方は、チャレンジしましょう。下記が参考になります。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

混同しやすい用語

モーメント荷重

梁の特定点に外力モーメントとして作用する荷重で、鉛直力は0だが支点反力と曲げモーメントを生じさせる。

集中荷重に対して鉛直成分がないため反力が「偶力」として生じ、曲げモーメント図に不連続（段差）が現れる点が大きな違い。

集中荷重

梁の1点に鉛直力として作用する荷重で、支点反力は荷重と梁長さの比率から求める。

モーメント荷重に対して鉛直力のつり合いで反力が直接求まり、曲げモーメント図は折れ線で不連続にならない点が異なる。

単純梁にモーメント荷重が作用する場合を整理した表を示します。

項目	公式	備考
支点反力（鉛直）	Ra＝Rb＝M/L（逆向き）	鉛直荷重は0のため偶力が生じる
曲げモーメント（a側）	Ma＝aM/L	荷重点左側の値
曲げモーメント（b側）	Mb＝bM/L	モーメント図に不連続（段差）が現れる