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弾性支持の梁とは?1分でわかる意味、反力の求め方、剛性との関係

弾性支持は、支点がバネになっており荷重に対して反力と変形が生じます。弾性支持の梁では、支点に生じる変形の影響を考慮して反力を求めます。今回は、弾性支持の梁の意味、反力の求め方、剛性との関係について説明します。


剛性、支点の意味は下記が参考になります。

剛性とは?本当に分かる剛性の計算、単位、強度との違い、バネ定数

支点ってなに?支点のモデル化と、境界条件について

弾性支持の梁とは?

弾性支持とは、支点がバネになっており荷重が作用すると反力と変形が生じます。下図をみてください。これが弾性支持です。


弾性支持図 弾性支持


弾性支持の梁では、バネが変形することを考慮して反力を求めます。これまで鉛直方向の支点は「変形しない(剛である)」と考えてきました。これは、ピン支点、ローラー支点、固定支点共に共通しています。


よって、荷重Pに対して反力もPになります。


一方、弾性支持では、荷重Pに対して反力がPより小さい値になり、たわみが生じます。支点、反力の意味は、下記が参考になります。

支点ってなに?支点のモデル化と、境界条件について

反力ってなに?反力の求め方と支点反力

弾性支持の梁の反力

下図をみてください。中央に弾性支持があります。両側の支点はピンです。荷重が中央部に作用するとき、梁の変形と反力を求めましょう。

弾性支持の梁図 弾性支持の梁


まず、荷重Pに対する弾性支持の反力をRとします。このバネの反力Rは、力と変形の関係より、


R=Ksδ


といえます。Ksは弾性支持の剛性、δは梁のたわみです。さらに、梁自体にも剛性があり荷重Pに抵抗しています。梁の剛性をKgとします。よって、


P−R−Kgδ=0

P−R=Kgδ


ですね。R=Ksδの「δ」とKgδの「δ」は、当然等しい値です。2つの式より、Rを求めると、


P−R=Kgδ

R=Ksδ

δ=R/Ks

P−R=Kg ×R/Ks

R=P/(1+Kg/Ks)


です。上記が弾性支持の反力を求める式です。Rが求められたので、δを計算します(計算過程は省略します)。


δ=P/(Ks+Kg)


ですね。


上式より、弾性支持の反力Rは、梁の剛性と弾性支持の剛性の割合で決まります。弾性支持の剛性Ksが無限大になるとき、R=Pです。これは鉛直方向が固定された状態です。またKsが無限大になると、δ=0ですね。支点に荷重が作用しても変形は0です。


支点、剛性の意味など併せて勉強しましょう。下記が参考になります。

支点ってなに?支点のモデル化と、境界条件について

剛性とは?本当に分かる剛性の計算、単位、強度との違い、バネ定数

弾性支持の梁と剛性の関係

梁の中央に集中荷重が作用する単純梁があります。梁のたわみは、


δ=PL^3/48EI


です。ここで、力と変形、剛性の関係を思い出してください。


P=kδ


で、kが剛性でした。前述の梁のたわみの式を変形すると、


P=48EI/L^3×δ


なので、


k=48EI/L^3


ですね。これが梁の剛性です。剛性の意味は、下記が参考になります。

剛性とは?本当に分かる剛性の計算、単位、強度との違い、バネ定数


前述したように、弾性支持上の梁は、梁自体の剛性だけでなく、支点の剛性も反力や応力に影響します。

まとめ

今回は弾性支持の梁について説明しました。意味など理解頂けたと思います。弾性支持に荷重が作用すると、反力と変形が生じます。一般的な支点と違い、支点の変形を考慮した計算が必要です。下記も併せて勉強すると良いでしょう。

剛性とは?本当に分かる剛性の計算、単位、強度との違い、バネ定数

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