断面二次モーメントとたわみの関係：公式と計算、大きくすれば効果は？

この記事の要点

断面二次モーメント（I）は梁のたわみを決める重要な断面性能で、たわみはEI（曲げ剛性）に反比例する。Iが2倍になればたわみは半分になる。梁の断面を大きくするかI形にして「材料を外周に集める」ことでIを増やすのが実務の基本戦略だ。

単純梁（中央集中荷重）の最大たわみはδ = PL³/(48EI)、等分布荷重では δ = 5wL⁴/(384EI)だ。Iを大きくするとδが小さくなる直接的な関係が見える。許容たわみ（例：L/300）以下に収めるためのIの最小値を逆算するのが実務上の設計手順になる。

断面二次モーメントが大きいほど、梁のたわみは小さくなります。

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断面二次モーメントと梁のたわみは、反比例の関係にあります。断面二次モーメントが大きいほど、梁のたわみは小さくなります。今回は、断面二次モーメントと梁のたわみの関係、たわみの計算方法について説明します。

断面二次モーメントの意味、梁のたわみの計算方法は、下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

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断面二次モーメントを用いた、たわみの計算は？

断面二次モーメントと梁のたわみは、反比例の関係にあります。断面二次モーメントが大きくなるほど、梁のたわみは小さくなります。梁のたわみの式を下記に示します。

δ＝PL^3／48EI

断面二次モーメントI以外の記号、数字に目をつぶると、下記の関係だとわかります（PL^3／48E＝αとおく）。

δ＝α／I

Iが100よりも1000の方が、梁のたわみδが小さいですよね。よって、反比例の関係です。なお、梁のたわみは小さい方が良いです。梁の上は、人が歩いたり物を置く場所です。そんな部分が、たわみにより傾いたら大変ですよね。

梁のたわみを小さくしたいなら、断面二次モーメントを大きくすることです。断面二次モーメントの意味は、下記が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

たわみの計算、意味は下記を参考にしてください。

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

断面二次モーメントによる梁のたわみの計算

梁のたわみは、下式で計算します。２つの式の違いは、集中荷重または分布荷重による違いです。また、「〇」部分は境界条件により係数が違います。

集中荷重作用時のたわみの公式

等分布荷重作用時のたわみの公式

共通点は、「EI」です。Eはヤング係数、Iは断面二次モーメントです。Eは材料で決まります。１つの建築物に対して1つの材料を使うので、簡単に変更できません。

梁のたわみを小さくしたいなら、断面二次モーメントIを大きくしましょう。梁のたわみは、下記の記事も参考になります。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

混同しやすい用語

断面係数

断面係数（Z=I/y）は曲げ応力度の算出に使い、断面二次モーメントはたわみ・剛性計算に使います。

役割が異なります。

断面二次半径

断面二次半径（r=√(I/A)）は細長比の計算に使う断面定数で、座屈検討時に重要です。

ひずみ

ひずみは断面内の変形の割合で、たわみは部材全体の変位量です。

両者は関連しますが、使う式と意味が異なります。

断面二次モーメントとたわみを整理した表を示します。

項目	内容	備考
断面二次モーメント（I）	断面の曲げ剛性を表す断面定数	単位：cm4、mm4
たわみ（δ）とIの関係	δ＝PL3/48EI（集中荷重時）で反比例	Iが大きいほどたわみは小さい
たわみ低減策	断面二次モーメントを大きくする	H形鋼など効率的な断面形状が有効

まとめ

今回は、断面二次モーメントを用いた梁のたわみの計算について説明しました。梁のたわみと、断面二次モーメントは反比例の関係だと覚えましょう。断面二次モーメント、たわみの意味も併せて勉強してくださいね。下記の記事が参考になります。

断面二次モーメントとは｜公式・H形鋼・たわみとの関係

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

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理解度チェック

断面二次モーメントとたわみの関係は？

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断面二次モーメントI（曲げ剛性EIの一部）と梁のたわみは反比例の関係で、Iが大きいほどたわみは小さくなります（Iが2倍ならたわみは半分）。単純梁（中央集中荷重）の最大たわみはδ＝PL³/48EI、等分布荷重ではδ＝5wL⁴/384EIです。Eはヤング係数でI以外を固定すれば、たわみδはIに反比例します。

たわみを小さくする実務上の方法は？

答えを見る

梁のたわみを小さくしたいなら断面二次モーメントIを大きくします（梁の断面を大きくするか、I形にして材料を外周に集める）。Eはヤング係数で材料により決まり、1つの建築物に1つの材料を使うので簡単に変更できないため、Iで調整します。許容たわみ（例：L/300）以下に収めるためのIの最小値を逆算するのが設計手順です。なお断面係数Z＝I/yは曲げ応力度の算出に使い、区別します。