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逆行列とは?1分でわかる意味(わかりやすい解説)、定義、求め方

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逆行列(ぎゃくぎょうれつ)とは、ある正方行列A、Xの積が単位行列となるときの正方行列Xのことです。Aの逆行列をA^-1で表します。なお、2×2の正方行列の逆行列は公式で簡単に求められます。今回は逆行列の意味、定義、求め方と公式について説明します。正方行列、単位行列の詳細は下記が参考になります。

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逆行列とは?わかりやすい解説

逆行列(ぎゃくぎょうれつ)とは、ある正方行列A、Xの積が単位行列となるときの正方行列Xのことです。よって単位行列をEとするとき、正方行列は下式で算定します。


AX=E


XをAの逆行列といいます。そのままXを逆行列としてもよいですが、Aの逆行列はA^-1で表します。上式を下記に直すと


AA^{-1}=E


です。繰り返しますがA^-1を逆行列といいます。また行列の掛け算は交換法則が成り立つので、


A^{-1}A=E


と表すことも可能です。なお単位行列とは下図のような正方行列をいいます。対角成分が全て1の対角行列です。


\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)

対角行列とは?1分でわかる意味、積の計算、転置行列、対称行列との関係


証明は省略しますが、正方行列Aに逆行列が存在するとき(逆行列が存在しないこともあります)、A^-1は1通りのみ存在します。難しい話ではなく「ある行列の逆行列は1つしか無いですよ」という意味です。


正方行列、単位行列の詳細は下記が参考になります。

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逆行列の定義

逆行列の定義を下式に示します。逆行列と聞くと難し考える人が多いのですが、下式だけの定義です。


AA^{-1}=A^{-1}A=E

逆行列の求め方、公式

行・列数が多くなると逆行列を求めるのが大変になるのですが、2×2行列の逆行列は下記の公式で簡単に算定できます。


図 逆行列の求め方、公式


上式のように分母ad-bc=0のとき値が定まらないので、逆行列は存在しません。

まとめ

今回は逆行列について説明しました。意味が理解頂けたと思います。逆行列とは、ある正方行列A、Xの積が単位行列となるときの行列Xです。意味はとても簡単です。2×2行列の逆行列は手計算で求めることができます。単位行列、正方行列など下記も併せて勉強しましょう。

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