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逆行列とは？1分でわかる意味（わかりやすい解説）、定義、求め方

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逆行列（ぎゃくぎょうれつ）とは、ある正方行列A、Xの積が単位行列となるときの正方行列Xのことです。Aの逆行列をA^-1で表します。なお、2×2の正方行列の逆行列は公式で簡単に求められます。今回は逆行列の意味、定義、求め方と公式について説明します。正方行列、単位行列の詳細は下記が参考になります。

正方行列とは？1分でわかる意味、性質、積の計算（解き方）、単位行列との関係

単位行列とは？1分でわかる意味、性質、積、逆行列と正則の関係

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逆行列とは？わかりやすい解説

逆行列（ぎゃくぎょうれつ）とは、ある正方行列A、Xの積が単位行列となるときの正方行列Ｘのことです。よって単位行列をEとするとき、正方行列は下式で算定します。

XをAの逆行列といいます。そのままXを逆行列としてもよいですが、Aの逆行列はA^-1で表します。上式を下記に直すと

$AA^{-1}=E$

です。繰り返しますがA^－1を逆行列といいます。また行列の掛け算は交換法則が成り立つので、

$A^{-1}A=E$

と表すことも可能です。なお単位行列とは下図のような正方行列をいいます。対角成分が全て1の対角行列です。

$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$

対角行列とは？1分でわかる意味、積の計算、転置行列、対称行列との関係

証明は省略しますが、正方行列Aに逆行列が存在するとき（逆行列が存在しないこともあります）、A^－1は１通りのみ存在します。難しい話ではなく「ある行列の逆行列は1つしか無いですよ」という意味です。

正方行列、単位行列の詳細は下記が参考になります。

正方行列とは？1分でわかる意味、性質、積の計算（解き方）、単位行列との関係

単位行列とは？1分でわかる意味、性質、積、逆行列と正則の関係

逆行列の定義

逆行列の定義を下式に示します。逆行列と聞くと難し考える人が多いのですが、下式だけの定義です。

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

逆行列の求め方、公式

行・列数が多くなると逆行列を求めるのが大変になるのですが、2×2行列の逆行列は下記の公式で簡単に算定できます。

図　逆行列の求め方、公式

上式のように分母ad－bc＝0のとき値が定まらないので、逆行列は存在しません。

まとめ

今回は逆行列について説明しました。意味が理解頂けたと思います。逆行列とは、ある正方行列A、Xの積が単位行列となるときの行列Xです。意味はとても簡単です。2×2行列の逆行列は手計算で求めることができます。単位行列、正方行列など下記も併せて勉強しましょう。

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名前　ハナダユキヒロ/MITUME lab主宰.（筆者のコラムはこちら）
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
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2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。

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