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曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

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外力が作用するとき部材内部に内力(応力)が生じます。この内力による仕事を「ひずみエネルギー」といいます。応力には軸力・曲げモーメント、せん断力の3種類あり、ひずみエネルギーも各応力に対応して3種類あります。


今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方、公式の誘導について説明します。外力の仕事、ひずみエネルギーの詳細は下記が参考になります。

外力の仕事について

ひずみエネルギーとは?1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

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曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

下図をみてください。梁にモーメントを加えると回転方向に変形します。



しかし、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。部材内部に生じる応力が、逆回転に曲げ戻したといえます。これは部材内部に、変形を元に戻すエネルギーが蓄えられていた、ということです。


梁の微小要素を取り出し、曲げモーメントが生じるときのつり合い状態を考えましょう。



この微小要素の微小変形dθを求めましょう。※dθの求め方は「ひずみエネルギー」の本筋とはずれますので簡単に解説します。詳細は下記をご覧ください。

曲率を表す式と理論式の誘導


梁に曲げモーメントが生じると上図のようにたわみます。このとき元々の微小長さdxから、さらにΔdxの変位が生じます。この模式図を見ればdxがΔdx水平に変形したように見えます。


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求めたいのはdθです。dθ、ρ、dxの関係は



です。※微小な角度=高さ÷底辺


さらに、



なので、



ですね。


さて、曲げモーメントが作用した場合の外力の仕事は、



です。上式は、外力の仕事を微小範囲に適用しただけです。詳細は下記をご覧下さい。

外力の仕事について


つり合い状態では、外力の仕事とひずみエネルギーは等しいです。よって、



上式は微小範囲における曲げモーメントによる仕事です。部材全体に蓄えられるひずみエネルギーは部材長さ分、積分すればよいですね。



以上の式で、部材一本当たりの曲げモーメントによるひずみエネルギーは、


です。

まとめ

今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方について説明しました。解き方の流れは軸力によるひずみエネルギーの求め方と同じです。また、梁の曲率とたわみの関係も理解する必要があります。下記も併せて復習しましょう。理解した方はせん断力によるひずみエネルギーに進んでくださいね。

曲率を表す式と理論式の誘導

ひずみエネルギーとは?1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

せん断力によるひずみエネルギーの求め方は?公式の誘導

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