曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

この記事の要点

曲げモーメントMによるひずみエネルギーはU=∫M2/(2EI)dxで求まる。梁の全長にわたって積分することで、曲げによる内部エネルギーを算定できる。

この公式はカスチリアーノの定理と組み合わせることで、梁のたわみを求める計算ツールになる。公式の導き方を理解しておくと応用しやすい。

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外力が作用するとき部材内部に内力（応力）が生じます。この内力による仕事を「ひずみエネルギー」といいます。

応力には軸力・曲げモーメント、せん断力の３種類あり、ひずみエネルギーも各応力に対応して３種類あります。

今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方、公式の誘導について説明します。外力の仕事、ひずみエネルギーの詳細は下記が参考になります。

外力の仕事について

ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

下図をみてください。梁にモーメントを加えると回転方向に変形します。

しかし、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。部材内部に生じる応力が、逆回転に曲げ戻したといえます。

これは部材内部に、変形を元に戻すエネルギーが蓄えられていた、ということです。

梁の微小要素を取り出し、曲げモーメントが生じるときのつり合い状態を考えましょう。

この微小要素の微小変形dθを求めましょう。※dθの求め方は「ひずみエネルギー」の本筋とはずれますので簡単に解説します。詳細は下記をご覧ください。

曲率を表す式と理論式の誘導

梁に曲げモーメントが生じると上図のようにたわみます。このとき元々の微小長さdxから、さらにΔdxの変位が生じます。

この模式図を見ればdxがΔdx水平に変形したように見えます。

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求めたいのはdθです。dθ、ρ、dxの関係は

です。※微小な角度＝高さ÷底辺

さらに、

なので、

ですね。

さて、曲げモーメントが作用した場合の外力の仕事は、

です。上式は、外力の仕事を微小範囲に適用しただけです。詳細は下記をご覧下さい。

外力の仕事について

つり合い状態では、外力の仕事とひずみエネルギーは等しいです。よって、

上式は微小範囲における曲げモーメントによる仕事です。部材全体に蓄えられるひずみエネルギーは部材長さ分、積分すればよいですね。

以上の式で、部材一本当たりの曲げモーメントによるひずみエネルギーは、

です。

混同しやすい用語

曲げによるひずみエネルギー（U_M）

U=∫M2/(2EI)dx。曲げモーメントMの2乗を曲げ剛性EIで割り、梁の全長で積分する。Mが大きいほど、またEIが小さいほどUは大きくなる。

軸力によるひずみエネルギー（U_N）

U=∫N2/(2EA)dx。軸力Nによるエネルギー。曲げと軸力が同時に作用する場合は両者を加算する。曲げよりも軸力の方が通常は小さい。

曲率（κ）

梁のたわみ曲線の曲がり具合。κ=M/(EI)。曲率とひずみエネルギーの関係から∫M2/(2EI)dxの公式が導かれる。

たわみ（δ）

梁の変形量。カスチリアーノの定理δ=∂U/∂Pと∫M2/(2EI)dxを組み合わせると、たわみを積分で直接求められる。

試験での問われ方｜管理人の一言

U=∫M2/(2EI)dxはカスチリアーノの定理と一体で使う公式。Mをxの関数として表し、∂M/∂Pを計算して積分することでたわみが求まる。積分計算の練習が必要なので、単純梁・片持ち梁の例題を繰り返し解こう。

各応力によるひずみエネルギー公式の比較
応力の種類	ひずみエネルギー公式	剛性
軸力 N（一定）	U = N2L / (2EA)	EA（軸剛性）
曲げモーメント M	U = ∫M2/(2EI) dx	EI（曲げ剛性）
せん断力 Q	U = ∫κQ2/(2GA) dx	GA（せん断剛性）

まとめ

今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方について説明しました。

解き方の流れは軸力によるひずみエネルギーの求め方と同じです。また、梁の曲率とたわみの関係も理解する必要があります。

下記も併せて復習しましょう。理解した方はせん断力によるひずみエネルギーに進んでくださいね。

曲率を表す式と理論式の誘導

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せん断力によるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導

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