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ひずみエネルギーについて(曲げモーメント)

外力を作用させたとき、物体の内部にも仕事(エネルギー)が蓄えられています。この内部仕事をひずみエネルギーと呼んでいます。前回は『軸力に関するひずみエネルギー』を求めました。次は、物体に曲げモーメントが作用したときの歪エネルギーを考えてみましょう。


物体に力を加えたときを考えてみてください。このとき、曲げモーメントを加えれば、図のように回転する変形をおこします。しかし、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。つまり、外力を作用させたとき、物体には外部エネルギーと変形を元に戻す同等の内部エネルギーが蓄えられていたことになります。

では、下図を見てください。

物体に曲げモーメントを作用させたときのつり合い状態を考えましょう。また、考えやすいように微小要素を抜き出します。

この微小要素の微小変形dθを求めましょう。以前、構造力学の基礎で「曲率を表す式」と「曲げモーメントと曲率の関係」で示しました。ここでも、簡単に説明しますが、式を省略している部分がありますので、分からない人はリンクを参考にしてください。


純曲げを受けて変形した梁を考えてみましょう。まず梁に曲げモーメントが作用してたわみが生じた場合を考えます。このとき、下の図のように変形し、さらに元々の微小長さdxから、赤点線のように変形しΔdxの変位が生じます。模式的に示した図を次に示します。この模式図を見れば、いわゆるdx→Δdxから水平変位をおこしたように見えますね。

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求めたいのはdθですから、図を参照して考えると、

です。

なので、

ですね。

さて、曲げモーメントが作用した場合の外部エネルギーを参考にして微小要素に適用します。

つり合い状態における、外部エネルギーと内部エネルギーは等しいはずなので、この式を内部エネルギーにも適用できるでしょう。よって、

よって、部材全体に蓄えられるひずみエネルギーは次式で示します。

以上の式で、部材一本当たりのひずみエネルギーは、

です。

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