曲げモーメントによるひずみエネルギーとは？公式U=M²/2EIの誘導と仮想仕事の原理への応用
この記事の要点
構造物に曲げモーメントが作用するとき、部材内に弾性エネルギー（ひずみエネルギー）が蓄積されます。この量はU=∫M²/(2EI)dxで表され、カスティリアノの定理を使うと変位が計算できます。不静定構造の解法でもよく使われる重要な公式です。
このページでは曲げモーメントによるひずみエネルギーの公式誘導・カスティリアノの定理への応用・計算例を解説します。
この公式はカスチリアーノの定理と組み合わせることで、梁のたわみを求める計算ツールになる。公式の導き方を理解しておくと応用しやすい。
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外力が作用するとき部材内部に内力（応力）が生じます。この内力による仕事を「ひずみエネルギー」といいます。
応力には軸力・曲げモーメント、せん断力の３種類あり、ひずみエネルギーも各応力に対応して３種類あります。
今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方、公式の誘導について説明します。外力の仕事、ひずみエネルギーの詳細は下記が参考になります。
ひずみエネルギーとは？公式（U=σ²/2E）の求め方とせん断との関係
曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方は？公式の誘導
下図をみてください。梁にモーメントを加えると回転方向に変形します。
しかし、弾性範囲内であれば、力を取り除くと変形も元の状態に戻ります。部材内部に生じる応力が、逆回転に曲げ戻したといえます。
これは部材内部に、変形を元に戻すエネルギーが蓄えられていた、ということです。
梁の微小要素を取り出し、曲げモーメントが生じるときのつり合い状態を考えましょう。
この微小要素の微小変形dθを求めましょう。※dθの求め方は「ひずみエネルギー」の本筋とはずれますので簡単に解説します。詳細は下記をご覧ください。
曲率を表す式とは？たわみの微分方程式との関係をわかりやすく解説
梁に曲げモーメントが生じると上図のようにたわみます。このとき元々の微小長さdxから、さらにΔdxの変位が生じます。
この模式図を見ればdxがΔdx水平に変形したように見えます。
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求めたいのはdθです。dθ、ρ、dxの関係は
です。※微小な角度＝高さ÷底辺
さらに、
なので、
ですね。
さて、曲げモーメントが作用した場合の外力の仕事は、
です。上式は、外力の仕事を微小範囲に適用しただけです。詳細は下記をご覧下さい。
つり合い状態では、外力の仕事とひずみエネルギーは等しいです。よって、
上式は微小範囲における曲げモーメントによる仕事です。部材全体に蓄えられるひずみエネルギーは部材長さ分、積分すればよいですね。
以上の式で、部材一本当たりの曲げモーメントによるひずみエネルギーは、
です。
混同しやすい用語
曲げによるひずみエネルギー（U_M）
U=∫M2/(2EI)dx。
曲げモーメントMの2乗を曲げ剛性EIで割り、梁の全長で積分する。
Mが大きいほど、またEIが小さいほどUは大きくなる。
軸力によるひずみエネルギー（U_N）
U=∫N2/(2EA)dx。
軸力Nによるエネルギー。
曲げと軸力が同時に作用する場合は両者を加算する。
曲げよりも軸力の方が通常は小さい。
曲率（κ）
梁のたわみ曲線の曲がり具合。
κ=M/(EI)。
曲率とひずみエネルギーの関係から∫M2/(2EI)dxの公式が導かれる。
たわみ（δ）
梁の変形量。
カスチリアーノの定理δ=∂U/∂Pと∫M2/(2EI)dxを組み合わせると、たわみを積分で直接求められる。
| 応力の種類 | ひずみエネルギー公式 | 剛性 |
|---|---|---|
| 軸力 N（一定） | U = N2L / (2EA) | EA（軸剛性） |
| 曲げモーメント M | U = ∫M2/(2EI) dx | EI（曲げ剛性） |
| せん断力 Q | U = ∫κQ2/(2GA) dx | GA（せん断剛性） |
まとめ
今回は曲げモーメントによるひずみエネルギーの求め方について説明しました。
解き方の流れは軸力によるひずみエネルギーの求め方と同じです。また、梁の曲率とたわみの関係も理解する必要があります。
下記も併せて復習しましょう。理解した方はせん断力によるひずみエネルギーに進んでくださいね。
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理解度チェック
曲げモーメントによるひずみエネルギーの公式は？
U＝∫M2/(2EI)dx です。
この公式は何と組み合わせて変位を求める？
カスチリアーノの定理と組み合わせて、梁のたわみなどの変位を求めます。
ひずみエネルギーは応力の種類ごとにいくつある？
応力は軸力・曲げモーメント・せん断力の3種類あり、ひずみエネルギーもそれぞれに対応して3種類あります。
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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