カスチリアーノの定理とは？第一・第二定理の意味と計算例
この記事の要点
カスチリアーノの定理は「ひずみエネルギーUを荷重Pで偏微分すると、その荷重点での変位δが求まる」という定理。δ=∂U/∂P。
不静定構造物の変位計算や不静定力の算定に使われる。
仮想仕事の原理と並んで構造力学応用の重要定理の一つ。
この記事では、カスチリアーノの定理とは何か、カスチリアーノの定理はどう計算するのか、カスティリアノの定理とは何か、カスチリアノの定理とは何かを整理します。
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カスチリアーノの定理は、変形と仕事の関係を表す重要な定理です。まず、以下のような梁にn個の荷重が作用しているとします。
例えば、任意の点iにおける荷重Piが微小増加したときの、梁全体の仕事を求めてみましょう。
図を確認すると、微小荷重を作用させたことによる変位が発生しています。
初めに、単位当たりの荷重を作用させた状態での変位はたわみ係数αiiですから、そこから微小荷重ΔPiを作用させた場合の変位は、
となりますね。
さて、ここで外力の仕事を考えてみましょう。まず、点1に関する仕事は、外力P1が変化していない状態で、微小荷重ΔPiによる変位が発生しているので、
です。よって、i点を除く2～n点も同様の仕事となります。次に、i点での仕事を考えてみましょう。
i点では、微小荷重ΔPiを準静的に0～ΔPiになるまで変化させながら作用させたので仕事は、
となります。しかし、高次項であるため微小な値とし、省略します。よって、梁全体の仕事は、以下のように示されます。
です。さらに、変形すると
であり、これは微分を意味していますね。しかし、以上の式は多変数の関数を表していますので、梁全体の内部仕事を外力で偏微分して求められるということです。そこで、
となります。また、マクスウェルの定理により
です。よって、
ですので、これはi点での変位を表していることになります。つまり、
となります。この式は、構造物全体の内部仕事をある点での外力で偏微分したとき、その外力が作用した点における方向の変位を表します。
これをカスチリアーノの第一定理と呼びます。
さて、カスチリアーノの定理で、もう一つ重要なのは、第二定理（最小仕事の原理）ですが、これは後述することにします。
混同しやすい用語
カスチリアーノの定理（第2定理）
δ=∂U/∂P。
ひずみエネルギーUを荷重Pで偏微分して変位δを求める。
変位が既知でなく荷重が既知のときに使う。
仮想仕事の原理
仮想変位（または仮想力）を用いて釣り合い条件を表す原理。
カスチリアーノの定理は仮想仕事の原理から導かれる。
混同しやすいが使い方が異なる。
偏微分（∂U/∂P）
ひずみエネルギーUを特定の荷重Pで微分する操作。
他の荷重は定数扱い。
計算上は∫(M×∂M/∂P)/EI dxの積分になる。
ひずみエネルギー（U）
弾性体に外力が加わったとき内部に蓄えられるエネルギー。
U=∫M2/(2EI)dx（曲げによる分）。
カスチリアーノの定理の核となる量。
カスチリアーノの定理 計算例
| 条件 | 値 |
|---|---|
| 構造 | 片持ち梁（長さ L） |
| 荷重 | 自由端に集中荷重 P（鉛直下向き） |
| 曲げ剛性 | EI（一定） |
曲げモーメント（固定端からxの位置）：M(x) = P(L-x)
ひずみエネルギー：U = ∫(0,L) M2/(2EI) dx = ∫(0,L) P2(L-x)2/(2EI) dx = P2L3/(6EI)
自由端たわみ（カスチリアーノの定理）：δ = ∂U/∂P = ∂[P2L3/(6EI)]/∂P = PL3/(3EI)
→ これは片持ち梁の先端たわみの公式と一致する
カスチリアーノ定理 vs 他の変位算定法 比較表
| 方法 | アプローチ | 適した場面 |
|---|---|---|
| カスチリアーノの定理 | U をPで偏微分→δを直接求める | 特定点の変位を求めたいとき |
| 仮想仕事の原理 | 仮想荷重を置いてM?を求め∫M×M?/EI dx | 仮想荷重1を置いて任意点の変位 |
| 弾性荷重法（モール法） | M/EI図を仮想梁への荷重として扱う | 全体変形形状を把握したいとき |
よくある誤解
- ×誤り「カスチリアーノの定理でたわみ角は求められない」→ ○正解 モーメントMに対してδ=∂U/∂Mを適用するとたわみ角（回転角）θが求まる。δ=∂U/∂Pはたわみ、θ=∂U/∂Mはたわみ角
- ×誤り「ひずみエネルギーUは荷重Pに比例する」→ ○正解 U∝P2（2乗に比例）。カスチリアーノの定理で偏微分すると∂U/∂P∝Pとなり変位が荷重に比例（線形弾性）
- ×誤り「複数の荷重がある場合は使えない」→ ○正解 複数荷重でも使える。求めたい変位に対応する荷重Piで偏微分δi=∂U/∂Pi。仮想荷重を導入して対応も可能
一問一答
Q. 片持ち梁（L=3m、EI=一定）に先端荷重P=10kNが作用する。先端たわみδは？
A. U=P2L3/(6EI)よりδ=∂U/∂P=PL3/(3EI)=10,000×(3,000)3/(3×EI)=2.7×1014/(3×EI)=9.0×1013/(EI) mm
Q. カスチリアーノの第一定理と第二定理の違いは？
A. 第一定理：Fi=∂U/∂qi（変位から力を求める・非線形でも適用可）。第二定理（最小仕事の定理）：不静定構造でU最小条件から余剰応力を求める
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理解度チェック
カスチリアーノの定理とは？
ひずみエネルギーUを荷重Pで偏微分すると、その荷重点での変位δが求まるという定理です（δ＝∂U/∂P）。
カスチリアーノの定理と並ぶ変位算定の重要定理は？
仮想仕事の原理です。
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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