建築学生が学ぶ構造力学

  1. HOME > 構造力学の応用 > カスチリアーノの定理

カスチリアーノの定理

【管理人おすすめ!】セットで3割もお得!大好評の用語集と図解集のセット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集&図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました!)


カスチリアーノの定理は、変形と仕事の関係を表す重要な定理です。まず、以下のような梁にn個の荷重が作用しているとします。


例えば、任意の点iにおける荷重Piが微小増加したときの、梁全体の仕事を求めてみましょう。

図を確認すると、微小荷重を作用させたことによる変位が発生しています。

初めに、単位当たりの荷重を作用させた状態での変位はたわみ係数αiiですから、そこから微小荷重ΔPiを作用させた場合の変位は、

となりますね。



さて、ここで外力の仕事を考えてみましょう。まず、点1に関する仕事は、外力P1が変化していない状態で、微小荷重ΔPiによる変位が発生しているので、

です。よって、i点を除く2~n点も同様の仕事となります。次に、i点での仕事を考えてみましょう。


i点では、微小荷重ΔPiを準静的に0~ΔPiになるまで変化させながら作用させたので仕事は、

となります。しかし、高次項であるため微小な値とし、省略します。よって、梁全体の仕事は、以下のように示されます。

です。さらに、変形すると

であり、これは微分を意味していますね。しかし、以上の式は多変数の関数を表していますので、梁全体の内部仕事を外力で偏微分して求められるということです。そこで、

となります。また、マクスウェルの定理により

です。よって、

ですので、これはi点での変位を表していることになります。つまり、

となります。この式は、構造物全体の内部仕事をある点での外力で偏微分したとき、その外力が作用した点における方向の変位を表します。


これをカスチリアーノの第一定理と呼びます。

さて、カスチリアーノの定理で、もう一つ重要なのは、第二定理(最小仕事の原理)ですが、これは後述することにします。

【管理人おすすめ!】セットで3割もお得!大好評の用語集と図解集のセット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集&図解集セット(※既に26人にお申込みいただきました!)


▼スポンサーリンク▼

建築構造がわかる基礎図解集

noteで学ぶ建築士試験の構造

ゼロから建築士試験の構造を勉強しよう~!

ゼロから学ぶ建築士試験の構造

【好評】LINEで質問!

管理人に質問してみる?

友だち追加

わかる1級建築士の計算問題解説書

計算の流れ、解き方がわかる!1級建築士【構造】計算問題解説集

【初回資料が今だけ無料!】1日約13円で情報をアップデート!

有料メルマガを無料で見てみませんか?⇒ 忙しい社会人、学生のためのビルディング・アップデート

わかる2級建築士の計算問題解説書!

【30%OFF】一級建築士対策も◎!構造がわかるお得な用語集

建築学生が学ぶ「構造力学」の用語集
pdf版の学習記事

更新情報

プロフィール

建築の本、紹介します。▼

すぐにわかる構造力学の本

▼【好評!】管理人おすすめ▼

同じカテゴリの記事一覧

Topへ >>

  1. HOME > 構造力学の応用 > カスチリアーノの定理
  2. 1級の過去問(計算)解説
  3. 限定メルマガ
  4. わかる建築構造の用語集・図解集
  5. 1頁10円!PDF版の学習記事