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カスチリアーノの定理

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さて、次も変形と仕事の関係を表す重要な定理です。まず、以下のような梁にn個の荷重が作用しているとします。例えば、任意の点iにおける荷重Piが微小増加したときの、梁全体の仕事を求めてみましょう。

図を確認すると、微小荷重を作用させたことによる変位が発生しています。初めに、単位当たりの荷重を作用させた状態での変位はたわみ係数αiiですから、そこから微小荷重ΔPiを作用させた場合の変位は、

となりますね。




さて、ここで外力の仕事を考えてみましょう。まず、点1に関する仕事は、外力P1が変化していない状態で、微小荷重ΔPiによる変位が発生しているので、

です。よって、i点を除く2~n点も同様の仕事となります。次に、i点での仕事を考えてみましょう。i点では、微小荷重ΔPiを準静的に0~ΔPiになるまで変化させながら作用させたので仕事は、

となります。しかし、高次項であるため微小な値とし、省略します。よって、梁全体の仕事は、以下のように示されます。

です。さらに、変形すると

であり、これは微分を意味していますね。しかし、以上の式は多変数の関数を表していますので、梁全体の内部仕事を外力で偏微分して求められるということです。そこで、

となります。また、マクスウェルの定理により

です。よって、

ですので、これはi点での変位を表していることになります。つまり、

となります。この式は、構造物全体の内部仕事をある点での外力で偏微分したとき、その外力が作用した点における方向の変位を表します。これをカスチリアーノの第一定理と呼びます。

さて、カスチリアーノの定理で、もう一つ重要なのは、第二定理(最小仕事の原理)ですが、これは後述することにします。

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