カスチリアーノの定理

この記事の要点

カスチリアーノの定理は「ひずみエネルギーUを荷重Pで偏微分すると、その荷重点での変位δが求まる」という定理。δ=∂U/∂P。

不静定構造物の変位計算や不静定力の算定に使われる。仮想仕事の原理と並んで構造力学応用の重要定理の一つ。

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カスチリアーノの定理は、変形と仕事の関係を表す重要な定理です。まず、以下のような梁にn個の荷重が作用しているとします。

例えば、任意の点iにおける荷重Piが微小増加したときの、梁全体の仕事を求めてみましょう。

図を確認すると、微小荷重を作用させたことによる変位が発生しています。

初めに、単位当たりの荷重を作用させた状態での変位はたわみ係数αiiですから、そこから微小荷重ΔPiを作用させた場合の変位は、

となりますね。

さて、ここで外力の仕事を考えてみましょう。まず、点1に関する仕事は、外力P1が変化していない状態で、微小荷重ΔPiによる変位が発生しているので、

です。よって、i点を除く2～n点も同様の仕事となります。次に、i点での仕事を考えてみましょう。

i点では、微小荷重ΔPiを準静的に0～ΔPiになるまで変化させながら作用させたので仕事は、

となります。しかし、高次項であるため微小な値とし、省略します。よって、梁全体の仕事は、以下のように示されます。

です。さらに、変形すると

であり、これは微分を意味していますね。しかし、以上の式は多変数の関数を表していますので、梁全体の内部仕事を外力で偏微分して求められるということです。そこで、

となります。また、マクスウェルの定理により

です。よって、

ですので、これはi点での変位を表していることになります。つまり、

となります。この式は、構造物全体の内部仕事をある点での外力で偏微分したとき、その外力が作用した点における方向の変位を表します。

これをカスチリアーノの第一定理と呼びます。

さて、カスチリアーノの定理で、もう一つ重要なのは、第二定理（最小仕事の原理）ですが、これは後述することにします。

混同しやすい用語

カスチリアーノの定理（第2定理）

δ=∂U/∂P。ひずみエネルギーUを荷重Pで偏微分して変位δを求める。変位が既知でなく荷重が既知のときに使う。

仮想仕事の原理

仮想変位（または仮想力）を用いて釣り合い条件を表す原理。カスチリアーノの定理は仮想仕事の原理から導かれる。混同しやすいが使い方が異なる。

偏微分（∂U/∂P）

ひずみエネルギーUを特定の荷重Pで微分する操作。他の荷重は定数扱い。計算上は∫(M×∂M/∂P)/EI dxの積分になる。

ひずみエネルギー（U）

弾性体に外力が加わったとき内部に蓄えられるエネルギー。U=∫M²/(2EI)dx（曲げによる分）。カスチリアーノの定理の核となる量。

試験での問われ方｜管理人の一言

カスチリアーノの定理は一級建築士試験の構造力学応用で出題される重要定理。δ=∂U/∂P の意味を理解し、曲げによるひずみエネルギーの公式と組み合わせて変位を計算する手順を練習しよう。

カスチリアーノの定理計算例

条件	値
構造	片持ち梁（長さ L）
荷重	自由端に集中荷重 P（鉛直下向き）
曲げ剛性	EI（一定）

曲げモーメント（固定端からxの位置）：M(x) = P(L−x)

ひずみエネルギー：U = ∫₀ᴸ M²/(2EI) dx = ∫₀ᴸ P²(L−x)²/(2EI) dx = P²L³/(6EI)

自由端たわみ（カスチリアーノの定理）：δ = ∂U/∂P = ∂[P²L³/(6EI)]/∂P = PL³/(3EI)

→ これは片持ち梁の先端たわみの公式と一致する

カスチリアーノ定理 vs 他の変位算定法比較表

方法	アプローチ	適した場面
カスチリアーノの定理	U をPで偏微分→δを直接求める	特定点の変位を求めたいとき
仮想仕事の原理	仮想荷重を置いてM₀を求め∫M×M₀/EI dx	仮想荷重1を置いて任意点の変位
弾性荷重法（モール法）	M/EI図を仮想梁への荷重として扱う	全体変形形状を把握したいとき

よくある誤解

×誤り「カスチリアーノの定理でたわみ角は求められない」→ ○正解モーメントMに対してδ=∂U/∂Mを適用するとたわみ角（回転角）θが求まる。δ=∂U/∂Pはたわみ、θ=∂U/∂Mはたわみ角
×誤り「ひずみエネルギーUは荷重Pに比例する」→ ○正解 U∝P²（2乗に比例）。カスチリアーノの定理で偏微分すると∂U/∂P∝Pとなり変位が荷重に比例（線形弾性）
×誤り「複数の荷重がある場合は使えない」→ ○正解複数荷重でも使える。求めたい変位に対応する荷重Piで偏微分δi=∂U/∂Pi。仮想荷重を導入して対応も可能

一問一答

Q. 片持ち梁（L=3m、EI=一定）に先端荷重P=10kNが作用する。先端たわみδは？

A. U=P²L³/(6EI)よりδ=∂U/∂P=PL³/(3EI)=10,000×(3,000)³/(3×EI)=9.0×10¹³/(3EI)=3.0×10¹³/(EI) N·mm²

Q. カスチリアーノの第一定理と第二定理の違いは？

A. 第一定理：Fi=∂U/∂qi（変位から力を求める・非線形でも適用可）。第二定理（最小仕事の定理）：不静定構造でU最小条件から余剰応力を求める

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